位运算题目：最大单词长度乘积

题目

标题和出处

标题：最大单词长度乘积

出处：318. 最大单词长度乘积

难度

4 级

题目描述

要求

给定一个字符串数组 $\text{words}$，返回 $\text{length(words[i])}\times \text{length(words[j])}$ 的最大值，并且这两个单词不含有公共字母。如果不存在这样的两个单词，返回 $\text{0}$。

示例

示例 1：

输入：$\text{words = ["abcw","baz","foo","bar","xtfn","abcdef"]}$
输出：$\text{16}$
解释：这两个单词为 $\text{"abcw"}$、$\text{"xtfn"}$。

示例 2：

输入：$\text{words = ["a","ab","abc","d","cd","bcd","abcd"]}$
输出：$\text{4}$
解释：这两个单词为 $\text{"ab"}$、$\text{"cd"}$。

示例 3：

输入：$\text{words = ["a","aa","aaa","aaaa"]}$
输出：$\text{0}$
解释：不存在这样的两个单词。

数据范围

• $\text{2}\le \text{words.length}\le \text{1000}$
• $\text{1}\le \text{words[i].length}\le \text{1000}$
• $\text{words[i]}$ 只包含小写英语字母

解法

思路和算法

为了得到最大单词长度乘积，需要遍历数组 $\text{words}$ 中的每一对单词，判断两个单词是否含有公共字母，如果没有公共字母则计算这两个单词长度的乘积。对于长度为 $n$ 的数组 $\text{words}$，遍历每一对单词需要 $O(n^2)$ 的时间，如果通过遍历两个单词判断两个单词是否含有公共字母，则时间复杂度高于 $O(n^2)$。为了降低时间复杂度，需要在 $O(1)$ 的时间内判断两个单词是否含有公共字母，则时间复杂度是 $O(n^2)$。

为了在 $O(1)$ 的时间内判断两个单词是否含有公共字母，需要使用位运算。由于每个单词只包含小写英语字母，共有 $26$ 个字母，因此每个单词可以使用 $26$ 位二进制数表示该单词中出现的字母。具体表示方法是，二进制表示从低到高的第 $0$ 位到第 $25$ 位的每一位分别表示单词中是否出现 $\text{a}$ 到 $\text{z}$ 的每个字母，如果一个二进制位是 $1$ 则表示该位对应的字母在单词中出现，如果一个二进制位是 $0$ 则表示该位对应的字母不在单词中出现。

得到每个单词的二进制表示之后，判断两个单词是否含有公共字母时，可以计算这两个单词对应的二进制表示的按位与运算结果。如果按位与运算结果是 $0$，则这两个单词不含有公共字母；如果按位与运算结果不是 $0$，则这两个单词含有公共字母，按位与运算结果中不是 $0$ 的位表示公共字母。只有当按位与运算结果是 $0$ 时，才需要计算这两个单词长度的乘积，并更新最大单词长度乘积。

代码

class Solution {
    public int maxProduct(String[] words) {
        int length = words.length;
        int[] masks = new int[length];
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            String word = words[i];
            int wordLength = word.length();
            for (int j = 0; j < wordLength; j++) {
                char c = word.charAt(j);
                masks[i] |= 1 << (c - 'a');
            }
        }
        int maxValue = 0;
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            for (int j = i + 1; j < length; j++) {
                if ((masks[i] & masks[j]) == 0) {
                    int value = words[i].length() * words[j].length();
                    maxValue = Math.max(maxValue, value);
                }
            }
        }
        return maxValue;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2+L)$，其中 $n$ 是数组 $\text{words}$ 的长度，$L$ 是数组 $\text{words}$ 中的所有单词的长度之和。计算每个单词的二进制表示需要 $O(L)$ 的时间遍历所有单词，计算最大单词长度乘积需要 $O(n^2)$ 的时间遍历每一对单词，因此时间复杂度是 $O(n^2+L)$。

• 空间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是数组 $\text{words}$ 的长度。需要创建长度为 $n$ 的数组存储每个单词的二进制表示。