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扩展欧几里得算法：求解乘法逆元

news 来源：原创 2025/4/24 17:35:10

什么是乘法逆元？

扩展欧几里得算法：

算法的形象化解释：一场分解游戏

实际操作示例一

实际操作示例二：扩展欧几里得算法在 GF(1759) 中求解 550 的乘法逆元

初始化

步骤详解

结论

扩展欧几里得算法不仅能帮助我们找到两个数的最大公约数，还能让我们在模运算中轻松找到乘法逆元。（网络安全的公钥加密时求解密钥）

什么是乘法逆元？

在模运算中，乘法逆元指的是：对于一个数 b，存在一个数 b^{-1}，使得 b * b^{-1} ≡ 1 mod m。简单来说，就像在实数世界中，每个数都有一个倒数（比如 1/2），在模世界中，每个数也有一个特殊的“伙伴”，让它们的乘积等于 1。

但并不是所有数都有乘法逆元！只有当 b 和 m 互质（即它们的最大公约数是 1）时，b 才存在乘法逆元。扩展欧几里得算法就是用来找到这个逆元的利器。

扩展欧几里得算法：

扩展的 EUCLID(m, b)

(A1,A2,A3)←(1,0,m); (B1,B2,B3)←(0,1,b)
if B3=0 return 不存在乘法逆元
if B3=1 return B2=b-1 mod m
Q=⌊A3/B3⌋（向下取整）
(T1,T2,T3)←(A1−QB1,A2−QB2,A3−QB3)
(A1,A2,A3)←(B1,B2,B3)
(B1,B2,B3)←(T1,T2,T3)
goto 2

扩展欧几里得算法的核心是通过一系列的除法和替换操作，逐步推进到最终的解。以下是算法的步骤：

初始化：
将 A 和 B 初始化为 (1, 0, m) 和 (0, 1, b)。这里的 A 和 B 分别代表我们将要操作的数对。
终止条件：
- 如果 B_3 （数对B的第三个数，即 b 的当前值）为 0，说明 b 和 m 不互质，乘法逆元不存在。
- 如果 B_3 为 1，说明我们已经找到解，此时的 B_2 就是 b 的逆元。
逐步逼近：
- 计算商 Q = floor(A_3 / B_3)。
- 更新 A 和 B 的值，逐步缩小范围，最终逼近解。

通过这些步骤，算法会不断地将问题简化，直到找到解或者确认解不存在。

算法的形象化解释：一场分解游戏

试想一下，我们需要找到两个数 m 和 b 的组合，使得它们的线性组合等于 1，也就是：
1 = x * m + y * b。
这里的 y 就是 b 的乘法逆元。

扩展欧几里得算法就像是在拆解这些数，找到它们的“内在联系”。每一步操作，都像是拆掉一块砖，逐渐接近目标。

实际操作示例一

假设我们需要找到 b = 3 在模 m = 7 下的逆元。我们来看看算法是如何工作的：

初始化：
A = (1, 0, 7)，B = (0, 1, 3)。
第一轮操作：
- A_3 = 7，B_3 = 3，计算 Q = floor(7/3) = 2。
- 更新 A 和 B：
  - A = (0, 1, 3)
  - B = (1, -2, 1)。
第二轮操作：
- 现在 B_3 = 1，满足终止条件。
- B_2 = -2，即 b^{-1} ≡ -2 mod 7。
- 将 -2 转换为正数：-2 + 7 = 5，所以 3 * 5 ≡ 1 mod 7。

实际操作示例二：扩展欧几里得算法在 GF(1759) 中求解 550 的乘法逆元

初始化

我们需要计算 550 和 1759 的扩展欧几里得算法，以找到贝祖系数。初始化步骤如下：

( Q ): 商。
( A_1, A_2, A_3 ): 初始值为 (1, 0, 1759)。
( B_1, B_2, B_3 ): 初始值为 (0, 1, 550)。

步骤详解

第一步

Q = - : 没有商。
A_1 = 1 , A_2 = 0 , A_3 = 1759 : 初始化 A。
B_1 = 0 , B_2 = 1 , B_3 = 550 : 初始化 B 。

第二步

Q = 3 : 计算商 Q = A_3 / B_3 = 1759 / 550 = 3 。
T_1 = A_1 - Q * B_1 = 1 - 3 * 0 = 1 .
T_2 = A_2 - Q * B_2 = 0 - 3 * 1 = -3 .
T_3 = A_3 - Q * B_3 = 1759 - 3 *550 = 109 .
更新 A 和 B :
- A_1 = 0 , A_2 = 1 , A_3 = 550 .
- B_1 = 1 , B_2 = -3 , B_3 = 109 .

第三步

Q = 5 : 计算商 Q = A_3 / B_3 = 550 / 109 = 5 。
T_1 = A_1 - Q * B_1 = 0 - 5 * 1 = -5 .
T_2 = A_2 - Q * B_2 = 1 - 5 * (-3) = 16 .
T_3 = A_3 - Q * B_3 = 550 - 5 * 109 = 5 .
更新 A 和 B :
- A_1 = 1 , A_2 = -3 , A_3 = 109 .
- B_1 = -5 , B_2 = 16 , B_3 = 5 .

第四步

Q = 21 : 计算商 Q = A_3 / B_3 =109 / 5 = 21 。
T_1 = A_1 - Q * B_1 = 1 - 21 * (-5) = 106 .
T_2 = A_2 - Q * B_2 = -3 - 21 * 16 = -339 .
T_3 = A_3 - Q * B_3 = 109 - 21 * 5 = 4 .
更新 A 和 B :
- A_1 = -5 , A_2 = 16 , A_3 = 5 .
- B_1 = 106 , B_2 = -339 , B_3 = 4 .

第五步

Q = 1 : 计算商 Q = A_3 / B_3 = 5 / 4 = 1 。
T_1 = A_1 - Q * B_1 = -5 - 1 * 106 = -111 .
T_2 = A_2 - Q * B_2 = 16 - 1 * (-339) = 355 .
T_3 = A_3 - Q * B_3 = 5 - 1 * 1 .
更新 A 和 B :
- A_1 = 106 , A_2 = -339 , A_3 = 4 .
- B_1 = -111 , B_2 = 355 , B_3 = 1 .