概率多假设跟踪（PMHT）：多目标跟踪中的概率软关联与高效跟踪算法解析

一、PMHT 的起源与核心定位

（一）背景

在多目标跟踪中，传统算法面临以下瓶颈：

• JPDA：单帧局部最优关联，无法处理跨帧长时间断联，且假设目标数固定（如雷达跟踪中预设目标数范围）。
• MHT：通过多帧假设集实现全局最优，但假设数随时间呈指数增长（如K帧后假设数达$(NM{)}^K$），计算复杂度极高。 PMHT于 1997 年由 Singer 和 Kashyap 提出，基于期望最大化（EM）算法，通过概率分配隐式管理多帧关联，避免显式假设生成，在精度与效率间取得平衡，适用于目标数变化、中等杂波场景（如空中交通、智能监控）。

（二）核心定位

PMHT 是一种基于概率软关联的多帧迭代跟踪算法，核心是通过 EM 框架联合优化：

1. 关联概率：观测与目标的归属概率（软决策，非硬分配）；
2. 目标状态：通过加权最小二乘估计，融合多帧观测信息。

• 核心优势：跨帧关联鲁棒性优于 JPDA，计算复杂度低于 MHT（线性增长而非指数），支持目标数动态变化。

二、PMHT 理论基础：概率模型与 EM 框架

1. 基础假设与符号定义

（1）系统模型

• 时间序列：$k=1,2,\dots ,K$（共K帧）。
• 目标状态：第i个目标在帧k的状态为$x_k^{(i)}\in {\mathbb{R}}^d$，服从状态转移模型：$x_k^{(i)}=F_k{x}_{k-1}^{(i)}+w_k^{(i)},w_k^{(i)}\sim \mathcal{N}(0,Q_k)$其中$F_k$为状态转移矩阵，$Q_k$为过程噪声协方差。
• 观测模型：帧k的观测$z_k^{(m)}\in {\mathbb{R}}^r$，若来自目标i，则：$z_k^{(m)}=H_k{x}_k^{(i)}+v_k^{(m)},v_k^{(m)}\sim \mathcal{N}(0,R_k)$其中$H_k$为观测矩阵，$R_k$为观测噪声协方差；若为杂波，则均匀分布于观测空间$\mathcal{Z}$，密度为$\lambda =\frac{C}{\text{Vol}(\mathcal{Z})}$（C为杂波数期望，$\text{Vol}(\mathcal{Z})$为观测空间体积）。

（2）关联变量

定义软关联概率${\gamma }_{k,m,i}$：观测$z_k^{(m)}$来自目标i的概率（$0\le {\gamma }_{k,m,i}\le 1$），满足：

${\sum }_{i=0}^{N_k}{\gamma }_{k,m,i}=1,{\gamma }_{k,m,0}=\text{杂波关联概率}$

其中$N_k$为帧k的目标数，${\gamma }_{k,m,0}=1-{\sum }_i{\gamma }_{k,m,i}$表示观测属于杂波的概率。

2. 与对比算法的核心区别

特性	JPDA	MHT	PMHT
关联方式	单帧硬分配（概率最大）	多帧显式假设树	多帧软关联（概率迭代）
目标状态更新	单帧滤波（如卡尔曼）	假设集贝叶斯更新	多帧加权最小二乘
目标数适应性	固定范围	灵活但高计算量	动态（需初始化）
数据利用效率	单帧局部最优	全局最优	多帧次优但高效

三、PMHT 算法详解：基于 EM 的迭代优化

PMHT 通过 E 步（计算关联概率）和M 步（更新目标状态） 交替迭代，收敛至最大似然解（MLE）。假设初始目标数为$N_0$，初始状态 { x 1 ( i ) } \{x_1^{(i)}\} {x1(i)​}由检测或先验知识给出。

1. 期望步骤（E-Step）：关联概率计算

对每帧k、观测m、目标i（$i\ge 1$，$i=0$代表杂波），计算：

${\gamma }_{k,m,i}=\frac{p_d\cdot p(z_k^{(m)}|x_k^{(i)})\cdot p(x_k^{(i)}|x_{k-1}^{(i)})}{\lambda V+{\sum }_{j=1}^N{p}_d\cdot p(z_k^{(m)}|x_k^{(j)})\cdot p(x_k^{(j)}|x_{k-1}^{(j)})}$

关键项展开：

• 检测概率：$p_d$（目标被检测到的概率，未检测时不生成观测）；
• 观测似然：$p(z_k^{(m)}|x_k^{(i)})=\mathcal{N}(z_k^{(m)};H_k{x}_k^{(i)},R_k)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^r|R_k|}}\exp \left(-\frac{1}{2}(z_k^{(m)}-H_k{x}_k^{(i)}{)}^{\top }{R}_k^{-1}(z_k^{(m)}-H_k{x}_k^{(i)})\right)$
• 状态转移先验：$p(x_k^{(i)}|x_{k-1}^{(i)})=\mathcal{N}(x_k^{(i)};F_k{x}_{k-1}^{(i)},Q_k)$
• 杂波项：$\lambda V$为帧内杂波数期望（$V=\text{Vol}(\mathcal{Z})$），确保分母为全概率归一化因子。

2. 最大化步骤（M-Step）：目标状态更新

对每个目标i，利用加权最小二乘估计更新状态$x_k^{(i)}$，权重为关联概率${\gamma }_{k,m,i}$：

${\hat{x}}_k^{(i)}=\arg {\min }_{x_k^{(i)}}{\sum }_{k=1}^K{\sum }_{m=1}^{M_k}{\gamma }_{k,m,i}\cdot {\Vert z_k^{(m)}-H_k{x}_k^{(i)}\Vert }_{R_k^{-1}}^2$

其中$\Vert a{\Vert }_P^2=a^{\top }Pa$为马氏距离平方。对于线性高斯系统，最优解为：

${\hat{x}}_k^{(i)}={\left({\sum }_{k=1}^K{H}_k^{\top }{R}_k^{-1}{\sum }_{m=1}^{M_k}{\gamma }_{k,m,i}\right)}^{-1}{\sum }_{k=1}^K{H}_k^{\top }{R}_k^{-1}{\sum }_{m=1}^{M_k}{\gamma }_{k,m,i}{z}_k^{(m)}$

递推形式（结合状态转移）： 引入先验估计${\bar{x}}_k^{(i)}=F_k{\hat{x}}_{k-1}^{(i)}$，协方差${\bar{P}}_k^{(i)}=F_k{\hat{P}}_{k-1}^{(i)}{F}_k^{\top }+Q_k$，则更新后状态：

${\hat{x}}_k^{(i)}={\bar{x}}_k^{(i)}+K_k^{(i)}\left(z_k^{(m)}-H_k{\bar{x}}_k^{(i)}\right)$

其中卡尔曼增益$K_k^{(i)}={\bar{P}}_k^{(i)}{H}_k^{\top }(H_k{\bar{P}}_k^{(i)}{H}_k^{\top }+R_k{)}^{-1}$，权重由${\gamma }_{k,m,i}$调制。

3. 目标存在性判决

通过关联概率之和估计目标存在概率：

$P_{\text{exist}}^{(i)}={\sum }_{k=1}^K{\sum }_{m=1}^{M_k}{\gamma }_{k,m,i}$

若$P_{\text{exist}}^{(i)}<\tau$（阈值，如 0.5），则剔除该目标；新增目标由检测初始化（如未关联到现有目标的高似然观测）。

4. EM 迭代流程

1. 初始化：设定N个目标初始状态 { x 1 ( i ) } \{x_1^{(i)}\} {x1(i)​}、参数 { F k , H k , Q k , R k , p d , λ } \{F_k, H_k, Q_k, R_k, p_d, \lambda\} {Fk​,Hk​,Qk​,Rk​,pd​,λ}；
2. E-Step：对所有$k,m,i$计算${\gamma }_{k,m,i}$；
3. M-Step：更新所有目标状态 { x ^ k ( i ) } \{\hat{x}_k^{(i)}\} {x^k(i)​}；
4. 收敛判断：若${\max }_i\Vert {\hat{x}}_k^{(i)}-{\hat{x}}_k^{(i,\text{old})}\Vert <ϵ$，终止；否则返回步骤 2。

四、关键变形：线性高斯 PMHT（LG-PMHT）

当系统为线性高斯时，PMHT 可简化为卡尔曼滤波框架下的加权更新，显著提升计算效率。

1. 状态转移与观测模型

• 状态转移：$x_k=F{x}_{k-1}+w_k,w_k\sim \mathcal{N}(0,Q)$
• 观测模型：$z_k=H{x}_k+v_k,v_k\sim \mathcal{N}(0,R)$

2. 关联概率简化

${\gamma }_{k,m,i}=\frac{p_d\cdot \mathcal{N}(z_k^{(m)};H{\bar{x}}_k^{(i)},S_k^{(i)})}{\lambda V+{\sum }_j{p}_d\cdot \mathcal{N}(z_k^{(m)};H{\bar{x}}_k^{(j)},S_k^{(j)})}$

其中$S_k^{(i)}=H{\bar{P}}_k^{(i)}{H}^{\top }+R$为创新协方差。

3. 状态协方差更新

后验协方差为：

${\hat{P}}_k^{(i)}={\left({\sum }_{m=1}^{M_k}{\gamma }_{k,m,i}{R}^{-1}\right)}^{-1}+{\bar{P}}_k^{(i)}-{\bar{P}}_k^{(i)}{H}^{\top }(S_k^{(i)}{)}^{-1}H{\bar{P}}_k^{(i)}$

反映观测对状态估计不确定性的修正。

有关PMHT的matlab代码见https://m.tb.cn/h.6Rx9Zmm?tk=FsQ4V1J4GTC

五、典型应用场景与实现细节

1. 空中交通管制（ATC）

• 挑战：多航空器匀速 / 机动混合（需切换$F_k$矩阵）、雷达杂波（$\lambda$动态估计）。
• 实现
  1. 初始化：通过首次检测的航迹点聚类生成初始目标；
  2. 迭代优化：每 5 帧运行一次 EM（平衡实时性，$I=5$次迭代）；
  3. 目标删除：连续 3 帧$P_{\text{exist}}^{(i)}<0.3$则剔除。

2. 自动驾驶：多车辆跟踪

• 观测模型：融合视觉检测框（中心坐标$(u,v)$）和雷达测距（r），构建混合观测：$z=\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ r\end{array}\right],H=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ \cos \theta & \sin \theta & 0& 0\end{array}\right]$（$\theta$为雷达方位角，状态$x=[x,y,\dot{x},\dot{y}{]}^{\top }$）。
• 优化：使用 GPU 并行计算所有目标的${\gamma }_{k,m,i}$，加速 E-Step（单帧处理时间 < 10ms）。

六、技术演进与前沿挑战

1. 理论扩展

（1）非线性 PMHT

• 结合无迹变换（UT）**或**粒子滤波处理非线性状态转移 / 观测模型，如：$p(z_k|x_k^{(i)})=\int p(z_k|y)p(y|x_k^{(i)})dy(\text{非高斯观测})$
• 代价：计算复杂度提升

（2）贝叶斯 PMHT（BPMHT）

引入目标数的先验分布（如泊松分布），通过边缘化目标数实现贝叶斯推理：

$p(N|Z_{1:K})=\frac{p(Z_{1:K}|N)p(N)}{p(Z_{1:K})}$

支持完全未知目标数场景。

2. 工程化挑战

（1）初始化敏感性

• 问题：初始目标数和状态误差会导致关联概率发散（如误将杂波初始化为目标）。
• 解决方案：结合检测置信度筛选初始观测（如仅使用置信度 > 0.9 的检测框），或通过密度聚类（如 DBSCAN）生成初始目标。

（2）计算复杂度优化

• 稀疏化：仅保留${\gamma }_{k,m,i}>ϵ$（如 0.1）的关联对，减少无效计算；
• 近似 EM：固定迭代次数（如$I=3$），用启发式方法提前终止（如关联概率变化 < 1%）。

七、总结

PMHT 通过EM 框架下的概率软关联，在多目标跟踪中实现了三大突破：

1. 跨帧鲁棒性：利用多帧观测迭代优化，比 JPDA 更抗遮挡和漏检；
2. 效率优势：隐式处理关联假设，复杂度随目标数线性增长，适合实时系统；
3. 模型兼容性：支持线性 / 非线性系统，易与卡尔曼滤波、粒子滤波结合。

其核心公式 —— 关联概率${\gamma }_{k,m,i}$和状态更新${\hat{x}}_k^{(i)}$—— 构成了从观测到目标状态的概率映射桥梁。未来研究需聚焦动态目标数自适应、低计算成本的非线性建模及与深度学习的深度融合（如用神经网络近似 EM 迭代），推动 PMHT 在复杂场景下的规模化应用。