LLM做逻辑推理题 - 如何找出不标准的球？

题目: 

有80个外观一致的小球，其中一个和其它的重量不同，（不知道更轻还是更重）。现在给你一个天平，允许你称四次，把重量不同的球找出来，怎么称？

1. 答案

　　第1次称量：天平左端放27个球。右端也放27个球。有2种可能性：A平衡、B不平衡。如果平衡了，那么下一次就以余留的80－27－27＝26个球作为研究对象。如果不平衡，那面选择轻的一端的27各球作为第二次称量的物品。
　　第2次称量：天平左右两边都放9个球。研究对象中还有8～9个球没有放入天平中。有2种可能性：A平衡B不平衡。如果平衡了，那么下一次就以余留的8～9个球作为研究对象。如果不平衡，那么就选择轻的一端的9各球作为下次称量的物品。
　　第3次称量：左右两边个放3各球。研究对象中还有23个球没有放入天平中。有2种可能性：A平衡B不平衡。如果平衡了，那么下一次就以余留的2～3个球作为研究对象。如果不平衡，那么就选择轻的一端的3个球作为下一次称量的物品。
　　第4次称量：天平的左右两边各放1个球。研究对象中还有0～1个球没有放入天平中。有2种可能性：A平衡B不平衡。如果平衡了，那么余留的另一个球就是要找的球。如果不平衡，那么轻的一端就是你要找的球。

2. 答案解析

上述答案仅适用于非标准球已知更轻或更重的情况，不适用于更轻或更重未知情况。

由于天平称重一次可以分辨3中情况，称重4次可以分辨3**4=81种情况。

参考Deepseek-R1、计算之魂，重新组织如下计算方法，但需要5步，有可能没找对方法。

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**步骤一：将80个球分为三组，分别为27、27、26个。称量前两组（27 vs 27）。**

1. **如果平衡**：
   - 问题球在剩下的26个中。进入步骤二处理这26个，在26个重找非标准球，过程类似步骤二中在54个球中找非标准球，且难度更小，忽略具体过程。

2. **如果不平衡**（假设左边重）：
   - 问题球在左边的27个（可能重）或右边的27个（可能轻）。进入步骤二处理这54种可能性。
 

**步骤二（不平衡情况）：重新排列，L左边27（轻）和R右边27（重），S为26个标准**
- **将左边27分L1-9、L10-18、L19-27，右边27分R1-9, R10-18, R19-27**

天平秤重 左边1-9，左边10-18，右边1-9 vs 左边 19-27, S1-18

- 左边轻，说明非标准球更轻，且在L1-9，L10-18中间。

- 左边重，如果非标准球更轻，则在L19-27种；如果非标准球更重，则在R1-9中。

- 平衡，则说明非标准球在R10-18，R19-27中，且更重。

如此，我们就可以判断出非标准球的范围0-18，且非标准球是更重还是更轻。

步骤一和步骤二将范围缩小到18和确定了非标准球是更轻或更重，要求在剩下的2步从18个球找更轻的非标准球，由于18>3**2，所以可能找不出来。

**步骤三 在18个球中找更轻的非标准球，在18个球中找更重的非标准球步骤类似 ** 

将18个球分位三组，每组6个球。抽两组去天平称重。

- 左边轻，说明非标准球在左边的6个球中

- 左边重，说明非标准球在右边的6个球中

** 步骤四，在6个球中找1个更轻的非标准球，6>3，应该确定不了**

3. Deepseek-R1 

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好的，经过仔细的分析和步骤划分，以下是解决这个问题的步骤：

**步骤一：将80个球分为三组，分别为27、27、26个。称量前两组（27 vs 27）。**

1. **如果平衡**：
   - 问题球在剩下的26个中。进入步骤二处理这26个。

2. **如果不平衡**（假设左边重）：
   - 问题球在左边的27个（可能重）或右边的27个（可能轻）。进入步骤二处理这54种可能性。

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**步骤二（平衡情况）：处理26个球。**

- 将26分为9、9、8，称量前两组（9 vs 9）。
  
  - **如果平衡**：
    - 问题球在剩下的8个中。进入步骤三处理这8个。
  
  - **如果不平衡**：
    - 问题球在较轻或较重的9个中，并知道方向（轻或重）。进入步骤三处理这9个。

**步骤三（处理平衡后的8个）：**

- 将8分为3、3、2，称量前两组（3 vs 3）。
  
  - **如果平衡**：
    - 问题球在剩下的2个中。在步骤四中称其中一个与已知正常球比较即可确定。
  
  - **如果不平衡**：
    - 根据倾斜方向确定3个中的问题球，并在步骤四中称其中两个找出。

**步骤三（处理不平衡的9个）：**

- 将9分为3、3、3，称量前两组。
  
  - **如果平衡**：
    - 问题球在剩下的3个中。步骤四称其中两个即可确定。
  
  - **如果不平衡**：
    - 根据方向确定3个中的问题球，步骤四处理。

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**步骤二（不平衡情况）：处理左边27（可能重）和右边27（可能轻）。**

- **将左边27分9、9、9，右边27同理。**
  
  - 称量左边9 + 右边9 vs 新的左边9 + 已知正常球9：
    
    - **若左边重**：
      - 问题球在左边9（重）或右边9（轻），共18种可能。进入步骤三处理。
    
    - **若平衡**：
      - 问题球在剩余的左边9（重）或右边9（轻）。进入步骤三处理。
    
    - **若右边重**：
      - 问题球在右边剩下的9（轻）或左边剩下的9（重）。进入步骤三处理。

**步骤三（处理18或18可能性）：**

- 继续将组分成6、6、6，类似方法缩小范围，最终在步骤四中确定。

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**步骤四：最终称量**

- 无论之前的路径如何，最后一步通过比较1-2个球即可确定问题球。

通过这种分组策略，每次称量将可能性缩小到约1/3，四次称量即可覆盖所有80个球的情况，最终确定目标球。

参考

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《计算之魂》思考题9.3——12球问题.  https://zhuanlan.zhihu.com/p/583028750

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