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金融数学专题6 证券问题与资本利得税

news 来源：原创 2025/4/20 16:57:31

一、固定利息证券

特点：利息固定，且可以在证券名字中体现。

发行价格:公司公开发行证券的价格。

固定利率证券通常在其名称中包括应付利率，例如，8% Treasury Stock 2021 或 5% Treasury Gilt 2018。每位持有人应得的年利息是通过将其持有的名义金额N乘以每年的利率D(coupon rate)来计算的。例如，在8% Treasury Stock 2021的情形下，D=0.08；对于5% Treasury Gilt 2018，D=0.05。

如果将个人所得税纳入考虑范围，设所得税比率为 $t_{1}$ , 在利用复利进行计算的背景下，税后可以得到的利息为

$(1-t_{1})DN$

赎回时应付的金额通过将持有的名义金额(nominal amount) ( N ) 乘以每单位（“per cent”）的赎回价格 (redemption price) ( R )来计算。
如果 ( R = 1 )，则该股票被称为可按面值赎回(at par)；
如果 ( R > 1 )，则该股票被称为可高于面值或溢价赎回(above par / at a premium)；
如果 ( R < 1 )，则该股票被称为可低于面值或折价赎回(below par / at a discount)。
赎回日期是指应付赎回款的日期。(如果赎回日期不确定则称为undated)

例 :

注意：①名义金额（nominal amout）与发行价格(issue price)不一定相等。

②per cent→ per $\pounds 100$ nominal

③零息债券：zero-coupon bond

以下图片反映了两种支付方式的对比：

二、发行价与收益率的计算

核心:

股票模式：中途复利息+最后赎回一次→（回推现值）发行价格

如果该项目中不需要缴纳税款，则收益率被称为毛收益率。

将以上公式细化：

①在不考虑税款时：

考虑一种n年的固定利率证券，每年支付D的息票(coupon)（利息），按p次分期支付(in arrears)，赎回金额 (redemption amount) 为R。
这种债券的价格，按每年有效利率(effective rate) $i$ 计算，不考虑税收（即 i 代表毛收益率），公式为：

②在考虑税款时：

相应公式为

注意区别coupon rate和interest rate两个概念：

coupon rate ：用于计算债券每年支付给持有人的固定利息金额的百分比。

interest rate ：用于对时间线上各个现金流计算现值这一操作。

三、资本利得税

如果购买债券的价格低于赎回价格（或提前出售时的售价），那么投资者就获得了资本收益。
资本利得税是对资本收益征收的一种税。这种税通常只在每次处置时支付一次，即在销售或赎回时支付。
考虑一种n年期固定利率证券，每年支付D的息票，按p次分期支付（in arrears)，并有赎回金额R。一位需缴纳 $t_{1}$ 税率所得税的投资者以P’的价格购买了该债券。

如果已知 $P'$ ：如果 $R>P'$ ，则有资本收益;反之，则有资本损失。

1.是否需要支付资本利得税的判断

如果 $P'$ 为未知量：我们已知

则是否存在资本收益的判断可以进行等价转化：

所以我们可以知道存在资本收益的等价条件： $i^{(p)}>(1-t_{1})\frac{D}{R}$

2.价值方程的细微调整

如果投资者还需缴纳资本利得税，税率为 $t_{2}$ ( $0<t_{2}<1$ )，则对于给定的净收益率 $i$ ，应付价格为 $P''$

如果 $i^{(p)}>(1-t_{1})\frac{D}{R}$ ，则有资本收益。在贷款到期日，因此有一个额外的负债 $t_{2}(R-P'')$ 。在这种情况下：（利率为 i）

核心：买入价格与收益率yield知一推一！！

3.特殊情形：赎回日期不确定

考虑最差的情况！！（最大的买入价格/最小的收益率）

考虑一种固定利息证券，每年支付D的息票，每p期后支付一次，并且有赎回金额R。该证券的未偿还期限为n年，借款人可以选择，但受限于 $n_{1} \leq n\leq n_{2}$ 。 (我们假设 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ 是 $\frac{1}{p}$ 的整数倍。) 假设投资者需缴纳税率为 $t_{1}$ 的所得税。

假设投资者的预期净年收益率至少为 $i$ ,我们要求最大的买入价格，可以分三种情况讨论：

(a) 如果 $i^{(p)} > (1-t_1)\frac{D}{R}$ ，那么赎回时会产生资本收益。从投资者的角度来看，越早收到资本收益越好。因此，投资者将在较早赎回的证券上获得更高的收益率。所以，为了确保投资者至少获得净年收益率 ( i )，他们应该假设最坏的情况结果：赎回资金尽可能晚支付，即 $n=n_{2}$ 。
(b) 如果 $i^{(p)} < (1-t_1)\frac{D}{R}$ ，那么赎回证券时会有资本损失。投资者希望尽可能推迟这笔损失，因此将在较晚赎回的证券上获得更高的收益率。所以，为了确保投资者至少获得净年收益率 ( i )，他们应该假设最坏的情况结果：赎回资金尽快支付，即 $n=n_{1}$ 。
(c) 如果 $i^{(p)} = (1-t_1)\frac{D}{R}$ ，那么既没有资本收益也没有资本损失。因此，对投资者来说，无论何时赎回证券都没有区别。净年收益率将是 ( i )，不管实际选择的赎回日期如何。