cdq 系列 题解

从二维数点（二维偏序）到三维偏序。

用 cdq 分治可以解决二维数点问题。

1.洛谷 P1908 逆序对

题意

求所有数对 $(i,j)$ 的个数，满足 $i<j$ 且 $a_i>a_j$。

$1\le n\le 5\times 10^5$。

思路

欲学习树状数组解法的，请移步这里。这里用 cdq 分治的作为复习。

在很久很久以前，我们介绍过归并排序，说到可以使用归并排序的思想来解决这样的逆序对（二维偏序、二维数点）问题，也可以用于找一些特定的数对。

cdq 分治是一种思想，体现的当然是“分而治之”。处理区间 $(l,r)$，其流程大概为：

• 找到中点 $mid$。
• 将所有可能存在的点对分为三类：
  1 . $i\in [l,mid],j\in [l,mid]$；
  2 . $i\in [l,mid],j\in [mid+1,r]$;
  3 . $i\in [mid+1,r],j\in [mid+1,r]$。
• 递归处理第 $1,3$ 类；
• 设法处理第 $2$ 类。

（以上参考自OI - WIKI）

严格来说，这种二维偏序题并不能算作 cdq 分治，其实只是分治思想和双指针的应用。我们考虑双指针 $p\in [l,mid]$ 与 $q\in [mid+1,r]$：

• 如果 $a_p\le a_q$，那么当前 $p$ 并不能对 $q$ 产生贡献，我们考虑将 $p$ 合并到新数组 $b$ 去；
• 否则即 $a_p>a_q$，因为 $p<q$ 所以此时产生了逆序对，可以产生贡献；
• 因为我们已经分治处理了 $l\sim mid$ 和 $mid+1\sim r$，所以以 $mid$ 分开的左右两段区间都已经是有序的了（上一步的合并操作），所以 $a_q$ 比 $l\sim p-1$ 的都要大，比 $p\sim mid$ 的都要小，所以逆序对个数增加 $mid-p+1$ 个；
• 那么 $a_q$ 已经不能产生接下来的逆序对，扔进 $b$。

记得把已经排序好了的 $b$ 数组复制到 $a_{l\sim r}$ 去：

void cdq(ll l,ll r)
{if(l>=r)return;ll mid=(l+r)>>1;cdq(l,mid);cdq(mid+1,r);ll i=l,p=l,q=mid+1;while(p<=mid&&q<=r){if(q>r||p<=mid&&a[p]<=a[q])b[i++]=a[p++];//并入没法贡献的p else {b[i++]=a[q++];cnt+=mid-p+1;//a(i)>a(j)的数量，取右边大的 }}while(p<=mid)b[i++]=a[p++];while(q<=r)cnt+=mid-p+1,b[i++]=a[q++];for(int o=l;o<=r;o++)a[o]=b[o];
}

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=5e5+9;
ll n,a[N];
ll b[N],cnt;
void cdq(ll l,ll r)
{if(l>=r)return;ll mid=(l+r)>>1;cdq(l,mid);cdq(mid+1,r);ll i=l,p=l,q=mid+1;while(p<=mid&&q<=r){if(q>r||p<=mid&&a[p]<=a[q])b[i++]=a[p++];//并入没法贡献的p else {b[i++]=a[q++];cnt+=mid-p+1;//a(i)>a(j)的数量，取右边大的 }}while(p<=mid)b[i++]=a[p++];while(q<=r)cnt+=mid-p+1,b[i++]=a[q++];for(int o=l;o<=r;o++)a[o]=b[o];
}
int main()
{scanf("%lld",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);cdq(1,n);printf("%lld",cnt);return 0;
}

2.洛谷 P2717 寒假作业/P2804 神秘数字

题意

给定一个长度为 $n$ 的正整数序列 $a_i$，求出有多少个连续子序列的平均值不小于 $k$。

$1\le n\le 10^5$，$1\le \forall a_i,k\le 10^4$。

洛谷 P2804：要求平均值严格大于 $k$。

这里按照洛谷 P2717 的题面进行讲解。

思路

在这里我们讲到，这是一个“顺序对”：求所有 $l<r,s_l\le s_r$ 的个数，我们只要取比 $a_q$ 小的左边：$l\sim p-1$即可，每次贡献加 $p-l$。

因为是前缀和数组，所以 $l=0$ 是合法的，记得从 $0$ 开始。

代码 1 - 寒假作业

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=1e5+9;
ll n,k,a[N];
ll s[N],cnt,b[N];
void cdq(ll l,ll r) 
{if(l>=r)return;ll mid=(l+r)>>1;cdq(l,mid);cdq(mid+1,r);ll i=l,p=l,q=mid+1;while(p<=mid&&q<=r){if(s[p]<=s[q])b[i++]=s[p++];else {cnt+=p-l;//s(i)<s(j)，取左边小的 b[i++]=s[q++];}}while(p<=mid)b[i++]=s[p++];while(q<=r)cnt+=p-l,b[i++]=s[q++];for(ll o=l;o<=r;o++)s[o]=b[o];
}
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&k);for(ll i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&a[i]);a[i]-=k;s[i]=s[i-1]+a[i];}cdq(0,n);printf("%lld",cnt);return 0;
}

第 $2$ 题，要求严格大于，所以只需要改成：

if(s[p]<s[q])b[i++]=s[p++];

即可。记得取题目规定的模。

3.洛谷 P2163 SHOI2007 园丁的烦恼

4.洛谷 P3157 CQOI2011 动态逆序对/UVA11990 "Dynamic’’ Inversion