题解：[ABC385F] Visible Buildings

看起来很难，实际上是一道简单的初中数学题。学过一次函数（雾）的都应该会做。

注意点：初二（好像是）学的一次函数 $y=kx+b$ 的 $k$ 其实就是斜率，只是在初中老师一般没有指明 $k$ 是斜率，$b$ 是 $y$ 轴上的截距而已。

赛时分析（有改动）

题目告诉我们，一个位置 $(X_i, H_i) $ 的建筑从 $(0,h)$ 可见，当且仅当从 $(0,h)$ 到建筑 $i$ 的视线不会被其他建筑阻挡。

不妨用数学语言表达：建筑 $i$ 可见的条件是，从 $(0,h)$ 到 $(X_i,H_i)$ 的斜率大于从 $(0,h)$ 到所有前面建筑的斜率。

学过一次函数的都知道，$(0,h)$ 到 $(X_i,H_i)$ 的斜率公式为：
$${\text{slope}}_i=\frac{H_i-h}{X_i}$$

我们说建筑 $i$ 是可见的，当且仅当：
$$\frac{H_i-h}{X_i}>\underset{j<i}{\max }\left(\frac{H_j-h}{X_j}\right)$$
也就是说：
$$h>\frac{H_j{X}_i-H_i{X}_j}{X_i-X_j}$$
对于所有 $j<i$ 都需要满足。

因此，为了使所有建筑物可见，$h$ 必须大于上述公式中最大值。不难发现，$h$ 的最大值是由两个相邻的建筑 $(i-1,i)$ 决定的。因此只需考虑相邻建筑即可，将时间复杂度优化为 $O(N)$。

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我们来模拟一下第一个样例。
$i=2$ 时，$h_2=\frac{2\times 5-4\times 3}{5-3}=\frac{10-12}{2}=-1$。

$i=3$ 时，$h_3=\frac{4\times 7-5\times 5}{7-5}=\frac{28-25}{2}=1.5$

所以，最大值 m i n { h i } = 1.5 min\{h_i\} = 1.5 min{hi​}=1.5。

赛时代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n;
double maxh = - 1e18;
pair <int, int> h[200010];
signed main() {ios :: sync_with_stdio(false);cin . tie(nullptr);cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> h[i] . first >> h[i] . second; // 输入for (int i = 2; i <= n; i ++) {// 注意需要从第二个开始，因为取的是相邻的int X_1 = h[i] . first, H_1 = h[i] . second; int X_2 = h[i - 1] . first, H_2 = h[i - 1] . second;// 这里分别表示出相邻的两栋楼maxh = max(maxh, (double)(H_2 * X_1 - H_1 * X_2) / (double)(X_1 - X_2));// 求斜率并取最大值}if (maxh < 0) cout << "-1" << endl;// 无解else cout << fixed << setprecision(12) << maxh << endl;// 输出结果return 0;
}

完结撒花，记得点赞 [嘿嘿]。