【数据结构】_树和二叉树

【本节目标】

1. 树概念及结构
2. 二叉树概念及结构

1.树概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。树是递归定义的。因为任何一颗树都可以看做是根和他的子树构成。

注意： 树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 树的相关概念

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
• 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _firstChild1;    // 第一个孩子结点struct Node* _pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点DataType _data;               // 结点中的数据域
};

2.二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子
树和右子树的二叉树组成。

2.2二叉树的特点

1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

2.3 特殊的二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1（2的k次方减一） ，则它就是满二叉树。

完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.4 二叉树的性质

🖋️🖋️🖋️下面我们做几道题目来巩固一下吧

1. 某二叉树共有399个结点，其中有199个度为2的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ B ）
   A 不存在这样的二叉树
   B 200
   C 198
   D 199

🧐🧐分析：这里根据上面的公式n。也就是叶子结点数等于度为2 的结点数+1，所以就是199+1=200

2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ A ）
   A n
   B n+1
   C n-1
   D n/2

🧐🧐分析：假设叶子结点数为x，那么度为2的结点数为x-1；由于根据完全二叉树的图我们可以知道其中最多 有一个度为1的结点，所以可能是X+X-1+1=2n；也可能是x+x-1=2n;很明显这里是要加上这个1的，因为(2n+1)/2是除不尽的，所以为x=2n/2=n

3. 一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ B ）
   A 11
   B 10
   C 8
   D 12

🧐🧐分析：假设这个树的高度是h，根据满二叉树总的结点公式（因为完全二叉树就是满二叉树最后一行少几个且至少留一个，不能全部没有）2^k-1；所以2^h-1-x=531（假设x为要比满二叉树少的个数），然后根据满二叉树最后一行结点公式为2^(k-1)，所以可知x的 取值范围为[0,2^(h-1)-1]；（减0表示就是满二叉树，2^(h-1)-1表示至少减去留有一个结点。

然后去一个个套，假设h=10；2^10-1-x=531；x=492;然后 x 的范围是[0,511]，x在这个范围内，所以h=10;

4. 一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（ B ）
   A 383
   B 384
   C 385
   D 386

🧐🧐分析：假设叶子结点个数为x；那么度为2的结点数为x-1；然后度为1的结点数最多为1；所以有两种情况：x+x-1+1=767或者x+x-1=767；根据结果要为整数我们可以知道是第二种情况，所以结果为768/2=384；

最后一个h的推导如下：

❗❗❗注意：上面那个完全二叉树的高度求的是两个极端的情况

2.5 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储
   顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空
   间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺
   序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储
   二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是
   链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
   在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程
   学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

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本章到这里就结束啦~
友友们：
我们下期见~