（树状数组）洛谷 P6119/P3657 Why Did the Cow Cross the Road II G/P 题解

题意

Farmer John 饲养了 $N$ 种奶牛，编号从 $1$ 到 $N$。一些品种的奶牛和其他奶牛间相处良好，事实证明，如果两个品种的奶牛编号分别为 $a,b$，当 $|a-b|\le 4$ 时，这两个品种的奶牛能友好相处，否则不能友好相处。

一条长长的道路贯穿整个农场，道路的左侧有 $N$ 个牧场（每个品种的奶牛恰好占据一个牧场），道路的右侧也有 $N$ 个牧场（每个品种的奶牛恰好占据一个牧场）。为了让奶牛们安全穿过马路，Farmer John 希望能在马路上画出一些人行道（牛行道？），要求这些人行道满足如下条件：

1. 人行道从左侧的某个牧场出发，连接到右侧的某个牧场；
2. 人行道连接的两个牧场的奶牛要能友好相处；
3. 人行道不能在道路中间相交；
4. 每个牧场只能与一条人行道相连。

你需要帮 FJ 求出最多能有多少条人行道。

洛谷 P6119：$1\le n\le 1000$:；

洛谷 P3657：$1\le n\le 10^5$。

本题解两个数据范围有不同解法。

思路（小数据）

这个数据支持 $\Theta (n^2)$。

我们考虑枚举两侧的道路进行匹配。而题目要求道路不能交叉，那么得“一起推进”——其实是 dp。

设 $f_{i,j}$ 表示，$a$ 数组前 $i$ 个、$b$ 数组前 $j$ 个的最大匹配数。

如果 $|a_i-b_j|\le 4$，那么就可以在左侧的 $i$ 和 右侧的 $j$ 建立道路（在接下来就不会在出现，左侧小于 $i$ 的连接右侧大于 $j$ 的的道路了）。

f i , j = max ⁡ { f i − 1 , j − 1 + 1 } , ∣ a i − b j ∣ ≤ 4 f_{i,j}=\max\{f_{i-1,j-1}+1\},|a_i-b_j|\le 4 fi,j​=max{fi−1,j−1​+1},∣ai​−bj​∣≤4

否则就不能建，那么从哪里转移过来呢？跳过 $i$ 和 $j$ 其中一个点不建边就好了。

f i , j = max ⁡ { f i − 1 , j , f i , j − 1 } f_{i,j}=\max\{f_{i-1,j},f_{i,j-1}\} fi,j​=max{fi−1,j​,fi,j−1​}

代码 1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=1002; 
ll n,a[N],b[N];
ll f[N][N];
int main()
{scanf("%lld",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&b[i]);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){f[i][j]=max(f[i][j],max(max(f[i-1][j],f[i][j-1]),f[i-1][j-1]));if(abs(a[i]-b[j])<=4)f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);}}printf("%lld",f[n][n]);return 0;
}

思路（大数据）

虽然很典型，但是还是思维有点混乱，这种节点贡献的题目还是要多练。

能否考虑优化小数据的做法呢？省去一个维度？

对每一个 $a_i$，枚举可以和它配对的种类区间 $[a_i-4,a_i+4]$。

省去一维，设 $f_i$ 表示，当前，右侧的种类 $i$ 对应点 $po{s}_i$ 作为配对的结尾的最大匹配数，然后更新 $po{s}_i$ 的贡献为 $f_i+1$。

考虑用树状数组维护。

代码 2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=1e5+9;
ll n,a[N],b[N],pos[N];//右位置 
ll f[N];
struct BT
{ll T[N];ll lowbit(ll x){return x&(-x);}void add(ll x,ll k){for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))T[i]=max(T[i],k);}ll query(ll x){x=min(x,n),x=max(x,0ll);ll ret=0;for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))ret=max(ret,T[i]);return ret;}
}B;
int main()
{scanf("%lld",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&b[i]);pos[b[i]]=i;}for(int i=1;i<=n;i++){//符合条件的品种区间 for(int j=max(a[i]-4,1ll);j<=min(a[i]+4,n);j++)f[j]=B.query(pos[j]-1);for(int j=max(a[i]-4,1ll);j<=min(a[i]+4,n);j++)B.add(pos[j],f[j]+1);}ll ans=B.query(n);printf("%lld",ans);return 0;
}