计算机组成原理第二章 数据的表示和运算——2.1数制与编码
计算机组成原理第二章 数据的表示和运算——数制与编码
一、基本概念与核心知识点
1.1 数制系统基础
1.1.1 进位计数制
- 定义：以固定基数（如2、8、10、16）表示数值的系统
- 核心要素：
- 基数（R）：允许的数码个数（如二进制R=2）
- 位权：第i位的权值为R^i
- 常见进制对照表：
十进制 二进制 八进制 十六进制 0 0000 0 0 1 0001 1 1 5 0101 5 5 9 1001 11 9 10 1010 12 A
1.1.2 数制转换方法
- 整数转换：
- 除基取余法（十进制→其他进制）
例：将十进制数25转换为二进制 25 ÷ 2 = 12 余 1 → 最低位 12 ÷ 2 = 6 余 0 6 ÷ 2 = 3 余 0 3 ÷ 2 = 1 余 1 1 ÷ 2 = 0 余 1 → 最高位 结果：11001B - 乘基取整法（十进制小数→其他进制）
- 除基取余法（十进制→其他进制）
- 小数转换：
- 定点数转换：通过权值展开式计算
- 浮点数转换：分离符号、阶码、尾数分别转换
1.1.3 常见进制特点
| 进制 | 应用场景 | 优势 | 局限性 |
|---|---|---|---|
| 二进制 | 计算机硬件、逻辑电路 | 易于物理实现（高低电平） | 数值位数多，书写繁琐 |
| 八进制 | 早期计算机系统、权限表示 | 三位二进制对应一位八进制 | 现代计算机已不常用 |
| 十六进 | 内存地址、机器码表示 | 四位二进制对应一位十六进制 | 需要记忆16个符号 |
1.2 编码系统详解
1.2.1 BCD码（二-十进制编码）
- 定义：用4位二进制数表示1位十进制数
- 主要类型：
- 8421码（有权码）：
- 权值：8 4 2 1
- 示例：5 → 0101
- 余3码（无权码）：
- 8421码 + 0011
- 特点：无单个0，适合BCD加减运算
- 2421码（有权码）：
- 权值：2 4 2 1
- 特点：具有自补性（如5的2421码是1011）
- 8421码（有权码）：
1.2.2 字符编码
- ASCII码：
- 7位编码，共128个字符
- 格式：
0010 0000（空格）→1111 1111（DEL）
- Unicode编码：
- 统一编码方案，支持多语言
- UTF-8编码规则：
字符范围 UTF-8编码格式 1字节（ASCII） 0xxxxxxx 2字节 110xxxxx 10xxxxxx 3字节 1110xxxx 10xxxxxx 10xxxxxx
1.2.3 校验码
- 奇偶校验码：
- 增加1位校验位，使总1的个数为奇数（奇校验）或偶数（偶校验）
- 检测能力：仅能检测奇数个位错误
- 海明码：
- 校验位分布：第2^k位（k=0,1,2,…）
- 校验方程组：
S1 = P1 ⊕ D1 ⊕ D3 ⊕ D5 ⊕ D7 S2 = P2 ⊕ D2 ⊕ D3 ⊕ D6 ⊕ D7 S4 = P4 ⊕ D4 ⊕ D5 ⊕ D6 ⊕ D7
- 循环冗余校验（CRC）：
- 生成多项式：如CRC-16的生成多项式为x¹⁶+x¹⁵+x²+1
- 计算步骤：
- 在数据后补r个0（r为生成多项式次数）
- 进行模2除法
- 余数作为校验码
二、重点选择题解析
2.1 数制转换真题
真题1（2023年408统考）
题目：将十进制数-127转换为8位二进制补码，其表示为（ ）。
A. 10000001 B. 11111111 C. 10000000 D. 11111110
解析：
- 原码：符号位1 + 绝对值原码 →
11111111 - 补码：原码除符号位外取反+1 →
10000001 - 答案：A
易错点：忘记符号位固定为1，或补码转换时溢出处理错误。
真题2（2022年408统考）
题目：下列二进制数中最小的是（ ）。
A. 1010010B B. 00101000BCD C. 512O D. 235H
解析：
- 转换为十进制：
- A: 1010010B = 82
- B: 00101000BCD = 28
- C: 512O = 5×64 + 1×8 + 2×1 = 346
- D: 235H = 2×256 + 3×16 + 5 = 565
- 答案：B
易错点：混淆不同进制的转换方法，尤其是BCD码的特殊处理。
2.2 编码相关真题
真题3（2021年408统考）
题目：用海明码对8位数据（D7-D0）进行检/纠错，若能纠正一位错，则校验位至少需要（ ）位。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解析：
- 海明不等式：2ᵏ ≥ n + k + 1（n=8）
- 解得k=4时，2⁴=16 ≥ 8+4+1=13
- 答案：C
易错点：误用不等式方向或计算错误。
真题4（2016年408统考）
题目：C语言中unsigned short x=65530;转换为unsigned int y=x;后，y的机器数为（ ）。
A. 00007FFAH B. 0000FFFAH C. FFFF7FFAH D. FFFFFFFAH
解析：
- 65530的十六进制：0xFFFA
- 无符号数扩展：高位补0 → 0x0000FFFA
- 答案：B
易错点：混淆符号扩展与无符号扩展规则。
三、核心概念深度解析
3.1 补码的特殊性质
3.1.1 补码范围
- n位补码：-2ⁿ⁻¹ ≤ x ≤ 2ⁿ⁻¹-1
- 示例：8位补码范围是-128~+127
3.1.2 补码运算规则
- 加法规则：[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补 mod 2ⁿ
- 减法规则：[X-Y]补 = [X]补 + [-Y]补 mod 2ⁿ
3.1.3 溢出判断
- 单符号位法：符号位进位与最高数值位进位不同则溢出
- 双符号位法：符号位不同则溢出（01正溢出，10负溢出）
3.2 BCD码的修正方法
| 修正类型 | 修正条件 | 修正操作 |
|---|---|---|
| 8421码 | 和≥10 | 加6（0110） |
| 余3码 | 和≥16 | 减3（0011） |
| 2421码（5以上） | 结果≥5 | 加3（0011） |
四、综合应用题解析
4.1 浮点数规格化问题
题目：将十进制数1999转换为IEEE 754单精度浮点数格式。
步骤：
- 规格化：1999 = 1.999×2¹⁰
- 符号位S=0（正数）
- 阶码E=10+127=137 → 10001001B
- 尾数M=999×2²³（取23位）
- 最终表示：
0 10001001 11111001100110011001101
五、易错点与高频考点
5.1 常见错误类型
| 错误类型 | 典型示例 | 正确做法 |
|---|---|---|
| 补码范围混淆 | 认为8位补码最大为255 | 最大+127，最小-128 |
| BCD码修正错误 | 8421码相加后未修正直接使用 | 检查是否≥10后加6 |
| 海明码校验位计算错误 | 校验位位置分配错误 | 按2ᵏ规则分配校验位 |
5.2 高频考点总结
- 数制转换：重点掌握二进制与十六进制的快速转换技巧
- 补码运算：溢出判断与符号扩展规则
- BCD码应用：8421码与ASCII码的转换
- 校验码设计：海明码校验位计算与CRC多项式生成
六、附录：思维导图与示意图
6.1 数制与编码知识导图
6.2 海明码结构示意图
数据位：D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0
校验位：P4 P3 P2 P1
排列方式：
P4 P3 D7 P2 D6 D5 D4 P1 D3 D2 D1 D0
- 各进制转换的详细算法推导
- BCD码在计算器电路中的实现
- CRC校验的硬件实现电路图
- 历年408真题完整解析（2009-2023）
建议结合王道考研教材补充习题与案例分析。