高中数学联赛模拟试题精选第16套几何题
设点 O O O 为 △ A B C \triangle ABC △ABC 的外心, Γ 1 \Gamma_1 Γ1 是过 A A A, B B B 两点并与 A C AC AC 相切的圆, Γ 2 \Gamma_2 Γ2 是过 A A A, C C C 两点并与 A B AB AB 相切的圆, 圆 Γ 1 \Gamma_1 Γ1 与 Γ 2 \Gamma_2 Γ2 交于 A A A, P P P 两点, D D D, E E E, F F F 分别是边 B C BC BC, C A CA CA, A B AB AB 上的点, 且 D E / / A B DE // AB DE//AB, D F / / A C DF // AC DF//AC. 求证: O O O, P P P, E E E 三点共线的充分必要条件是 D E ⊥ E F DE \perp EF DE⊥EF.
(《高中数学联赛模拟试题精选》第16套)
证明: 充分性:
设 ( A P B ) (APB) (APB) 的圆心为 O 1 O_1 O1, ( A P C ) (APC) (APC) 的圆心为 O 2 O_2 O2.
O O 2 ⊥ A C OO_2 \bot AC OO2⊥AC, O 1 A ⊥ A C O_1A \bot AC O1A⊥AC, 所以 O 1 A / / O O 2 O_1A//OO_2 O1A//OO2. 同理, O 2 A / / O O 1 O_2A//OO_1 O2A//OO1.
显然, 四边形 O 1 A O 2 O O_1AO_2O O1AO2O 为平行四边形.
∠ O 1 O O 2 = ∠ O 1 A O 2 = ∠ O 1 P O 2 \angle O_1OO_2=\angle O_1AO_2=\angle O_1PO_2 ∠O1OO2=∠O1AO2=∠O1PO2, 所以 O 1 O_1 O1, P P P, O O O, O 2 O_2 O2 共圆.
∠ P O 1 O 2 = ∠ A O 1 O 2 = ∠ P A C \angle PO_1O_2=\angle AO_1O_2=\angle PAC ∠PO1O2=∠AO1O2=∠PAC.
O O 2 ⊥ A C OO_2 \bot AC OO2⊥AC, O 1 O 2 ⊥ A P O_1O_2 \bot AP O1O2⊥AP, 所以 ∠ O 1 O 2 O = ∠ P A C = ∠ P O 1 O 2 \angle O_1O_2O=\angle PAC=\angle PO_1O_2 ∠O1O2O=∠PAC=∠PO1O2.
四边形 O 1 O 2 O P O_1O_2OP O1O2OP 为等腰梯形, O 1 O 2 / / O P O_1O_2//OP O1O2//OP.
A P ⊥ O 1 O 2 AP \bot O_1O_2 AP⊥O1O2, 所以 O P ⊥ A P OP \bot AP OP⊥AP.
下面证明: E P ⊥ A P EP \bot AP EP⊥AP.
易求得: ∠ A P B = ∠ A P C = π − A \angle APB=\angle APC=\pi-A ∠APB=∠APC=π−A.
由相切可知 ∠ P A C = ∠ A B P \angle PAC=\angle ABP ∠PAC=∠ABP, ∠ P A B = ∠ P C A \angle PAB=\angle PCA ∠PAB=∠PCA
由 D E / / A B DE//AB DE//AB, D F / / A C DF//AC DF//AC 可知 A E / C E = B F / A F AE/CE=BF/AF AE/CE=BF/AF.
综上可知 △ A F P ∼ △ C E P \triangle AFP \sim \triangle CEP △AFP∼△CEP, △ E A P ∼ △ F B P \triangle EAP \sim \triangle FBP △EAP∼△FBP.
∠ E P F = ∠ A P C = π − A \angle EPF=\angle APC=\pi-A ∠EPF=∠APC=π−A, 所以 A A A, E E E, P P P, F F F 四点共圆, 进而 ∠ A P E = ∠ A F E = π 2 \angle APE=\angle AFE=\frac{\pi}{2} ∠APE=∠AFE=2π, 即 E P ⊥ A P EP \bot AP EP⊥AP.
综上, P P P, O O O, E E E 三点共线.
充分性证毕.
必要性: 只需证明 A E / C E = B F / A F AE/CE=BF/AF AE/CE=BF/AF.
证明 O P ⊥ A P OP \bot AP OP⊥AP. (参考充分性的证明)
易求得: ∠ A P B = ∠ A P C = π − A \angle APB=\angle APC=\pi-A ∠APB=∠APC=π−A.
∠ A P E = ∠ A F E = π 2 \angle APE=\angle AFE=\frac{\pi}{2} ∠APE=∠AFE=2π, 所以 A A A, F F F, P P P, E E E 四点共圆.
∠ E P F = π − A = ∠ A P C = ∠ A P B \angle EPF=\pi-A=\angle APC=\angle APB ∠EPF=π−A=∠APC=∠APB. 进而 ∠ F P A = ∠ E P C \angle FPA=\angle EPC ∠FPA=∠EPC, ∠ F P B = ∠ E P A \angle FPB=\angle EPA ∠FPB=∠EPA.
由相切可知 ∠ P A C = ∠ A B P \angle PAC=\angle ABP ∠PAC=∠ABP, ∠ P A B = ∠ P C A \angle PAB=\angle PCA ∠PAB=∠PCA, 综上可知 △ A F P ∼ △ C E P \triangle AFP \sim \triangle CEP △AFP∼△CEP, △ E A P ∼ △ F B P \triangle EAP \sim \triangle FBP △EAP∼△FBP, 进而 A E / C E = B F / A F AE/CE=BF/AF AE/CE=BF/AF.
必要性证毕.