信竞中的数学（一）：质数

基本概念梳理

质数：对于所有大于 $1$ 的自然数而言，如果该数除 $1$ 和自身以外没有其它因数/约数，则该数被称为为质数，质数也叫素数。

合数：对于大于1的整数中，除了1和该数本身以外，还有其他因数，最小的合数是4，1既不是质数也不是合数。

约数：如果一个数 $x$ 可以整除另外一个数 $y$，则 $x$ 称为 $y$ 的约数，约数也叫因数。

$[x,y]$ : 闭区间，即包含两个端点 $x$ 和 $y$，比如区间 $[3,6]$ 等价于 $3,4,5,6$ 四个数。

$\lfloor x\rfloor$ 表示 向下取整，即 $\lfloor 5.7\rfloor =5$ ，$\lfloor 3\rfloor =3$ 。

质数的应用

【例题1】试除法判定质数

给定 $n(1\le n\le 100)$ 个正整数 $a_i(1\le a_i\le 2^{31}-1)$，判定每个数是否是质数。

输入格式

第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含一个正整数 $a_i$。

输出格式

共 $n$ 行，其中第 $i$ 行输出第 $i$ 个正整数 $a_i$ 是否为质数，是则输出 Yes，否则输出 No。

输入样例：

2
2
6

输出样例：

Yes
No

【解析】试除法判定质数

如何判定一个数是否为质数呢？

最简单的办法就是试除法，即判断 $x$ 是否为质数，可以枚举闭区间 $[2,x-1]$ 中的所有整数，去尝试整除 $x$ ；

如果区间中存在可以整除 $x$ 的整数，则 $x$ 不是质数；

如果闭区间中所有数都不能整除 $x$，则 $x$ 为质数， 代码如下：

// isPrime: 判定 x 是否为质数，如果是，返回 true， 否则返回 false
bool isPrime(int x) {if(x < 2) return false;  // 质数的定义中只考虑大于 1 的数for(int i = 2; i < x; i++) {if(x % i == 0) return false;  // 在 [2, x-1] 中出现了约数，则可以断定不是质数}return true;  // 遍历完所有的数都没有找到约数，则一定为质数
}

以上代码的时间复杂度为 $O(x)$，是否可以优化呢？答案是可以的。

我们可以优化一下试除的区间，可以将区间缩小为 $[2,\lfloor \sqrt{x}\rfloor ]$ ，思考为什么可以缩小到这个区间呢？

因为约数是成对出现的，比如 $12$， 约数有 $2，3，4，6$，其中 $(2,6)$ 是一对，$(3,4)$ 是一对;

如果该数 $x$ 有约数，我们可以只枚举较小的约数，整除结果就是对应的较大的约数；

因此可以缩小枚举区间到 $[2,\lfloor \sqrt{x}\rfloor ]$，如果在区间 $[2,\lfloor \sqrt{x}\rfloor ]$ 中不存在 $x$ 的约数，那在 $[\lfloor \sqrt{x}\rfloor +1,x-1]$ 区间中也不会存在 $x$ 的约数。

但是在计算机中，求 $\sqrt{x}$ 的效率更慢一些，所以我们可以等价替换为 $i\ast i\le x$，但是在极端情况下，可能会出现 $i\ast i$ 越界导致出现错误，因此最推荐的写法为 $i\le x/i$， 代码如下：

// isPrime: 判定 x 是否为质数，如果是，返回 true， 否则返回 false
bool isPrime(int x) {if(x < 2) return false;  // 质数的定义中只考虑大于 1 的数for(int i = 2; i <= x/i; i++) {if(x % i == 0) return false;  // 在 [2, x-1] 中出现了约数，则可以断定不是质数}return true;  // 遍历完所有的数都没有找到约数，则一定为质数
}

此时，时间复杂度优化为 $O(\sqrt{x})$，已达到最优。

【本题题解完整代码】

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
int x, n;
// isPrime: 判定 x 是否为质数，如果是，返回 true， 否则返回 false
bool isPrime(int x) {if(x < 2) return false;  // 质数的定义中只考虑大于 1 的数for(int i = 2; i <= x/i; i++) {if(x % i == 0) return false;  // 在 [2, x-1] 中出现了约数，则可以断定不是质数}return true;  // 遍历完所有的数都没有找到约数，则一定为质数
}
int main() {cin >> n;while(n--) {cin >> x;if(isPrime(x)) cout << "Yes\n";else cout << "No\n";}return 0;
}

【例题2】分解质因数

给定 $n(1\le n\le 100)$ 个正整数 $a_i(2\le a_i\le 2\times 10^9)$，将每个数分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。

输入格式

第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含一个正整数 $a_i$。

输出格式

对于每个正整数 $a_i$，按照从小到大的顺序输出其分解质因数后，每个质因数的底数和指数，每个底数和指数占一行。

每个正整数的质因数全部输出完毕后，输出一个空行。

输入样例：

2
6
8

输出样例：

2 1
3 12 3

【解析】分解质因数

任何一个大于 $1$ 的数字都可以分解为若干个质数相乘，这个过程也叫分解质因数。

例如： $12=2\times 2\times 3,16=2\times 2\times 2\times 2,......$

给定一个数 $x$，如果将该数分解成若干质因数相乘呢？通过试除法即可完成。

遍历闭区间 $[2，x]$，如果当前遍历到的数字 $i$ 可以整除 $x$，那么就用 $i$ 整除 x， 直到不能整除即可停止，统计整除的次数 $cnt$ 即为质因数 $i$ 的指数。

代码如下：

// 将 x 分解质因数
void deal(int x) {for(int i=2; i<=x; i++) {  // 试除区间int cnt = 0;   // 当前质因数的个数while(x % i == 0) {   // 如果 i 可以整除，那么一直整除统计个数cnt++;x /= i;   // x 被整除}if(cnt > 0) cout << i << ' ' << cnt << endl;   // 当前 i 是质因数}cout << endl;
}

上面的代码，有同学会有疑惑，不是说分解质因数嘛？为什么没有判断 $i$ 为质数呢？

如果 $x\%i==0$ 成立的话，$i$ 一定就是质数；

因为此时 $x$ 在 $[2,i-1]$ 中已经没有因数了（都被整除掉了），所以如果 $x\%i==0$ 成立的话，说明 $i$ 在 $[2,i-1]$ 区间中也没有因数了，即 $i$ 为质数。

上面的代码时间复杂度为 $O(x)$，能否优化呢？可以的。

我们知道，$x$ 最多有一个大于 $\sqrt{x}$ 的质因数，因此可以将遍历区间缩小到 $[2,\sqrt{x}]$ 中，遍历结束后，如果 $x$ 依然大于 $1$，那此时 $x$ 一定就是那个质因数。

代码如下：

// 将 x 分解质因数
void deal(int x) {for(int i=2; i<=x/i; i++) {  // 试除区间int cnt = 0;  // 当前质因数的个数while(x % i == 0) {  // 如果 i 可以整除，那么一直整除统计个数cnt++;x /= i;  // x 被整除}if(cnt > 0) cout << i << ' ' << cnt << endl;  // 当前 i 是质因数}if(x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;  // 最后一个最大的质因数cout << endl;
}

由于分解质因数过程中， $x$ 一直被整除，因此假设最好的情况，$x$ 刚好是 $2$ 的次幂，那此时，代码时间复杂度为 $O(logx)$。

因此总的时间复杂度为 $O(logx)$ 到 $O(\sqrt{x})$ 之间。

【本题题解完整代码】

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
const int N = 1e6+7;
int n, x;
// 将 x 分解质因数
void deal(int x) {for(int i=2; i<=x/i; i++) {  // 试除区间int cnt = 0;  // 当前质因数的个数while(x % i == 0) {  // 如果 i 可以整除，那么一直整除统计个数cnt++;x /= i;  // x 被整除}if(cnt > 0) cout << i << ' ' << cnt << endl;  // 当前 i 是质因数}if(x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;  // 最后一个最大的质因数cout << endl;
}
int main() {cin >> n;while(n--) {cin >> x;deal(x);}return 0;
}

【例题3】线性筛质数

题目描述

如题，给定一个范围 $n$，有 $q$ 个询问，每次输出第 $k$ 小的素数。

输入格式

第一行包含两个正整数 $n,q$，分别表示查询的范围和查询的个数。

接下来 $q$ 行每行一个正整数 $k$，表示查询第 $k$ 小的素数。

输出格式

输出 $q$ 行，每行一个正整数表示答案。

输入

100 5
1
2
3
4
5

输出

2
3
5
7
11

说明/提示

【数据范围】
对于 $100\%$ 的数据，$n=10^8$，$1\le q\le 10^6$，保证查询的素数不大于 $n$。

【解析】线性筛质数

根据上面分解质因数可以知道，任何一个合数均可以分解为若干个质因数相乘，那是否可以将所有的合数标记出来，$2～n$ 中，所有已标记的合数的补集就是所有质数。

为什么要这样做呢？因为如果直接找质数，一定需要对每个数进行 $check$ 判断，但是对于合数来说，不需要判断，我们可以通过乘积的方式进行快速标记。

如何记录第 $k$ 个素数是谁呢？在标记的时候，由于标记是往后进行的，所以遍历到 $i$ 的时候，如果 $i$ 没有被标记，那么一定就是质数，$cnt$ 从 $1$ 开始，遇到一个质数，保存起来，并 $cnt++$，表示寻找下一个质数。

【算法步骤】

$1$、 定义 $isNotPrime[i]$ 为 $true$ 表示 $i$ 不是质数，即 $i$ 是合数；

定义 $prime[i]$ 表示第 $i$ 个质数；比如 $prime[1]=2，prime[2]=3,prime[3]=5,...$ 表示第一个质数是 $2$，第二个质数是 $3$，第三个质数是 $5，...$ 等等

$2$、遍历 $i$ ，$i$ 属于 $[2,n]$ 闭区间， 将 $i$ 之前的所有质数都保存在 $prime$ 数组中，可以用 $i$ 乘以所有保存的质数得到 $y$，那么 $y$ 一定不是质数，所以可以标记$isNotPrime[y]$ 为 $true$，遍历到 $i$ 以后，如果 $isNotPrime[i]$ 依然为 $false$，没有被标记，那么可以说 $i$ 就一定是质数，需要保存起来。

$3$、对于有些合数比如 $12$，既可以分解为 $2\times 6$，也可以分解为 $3\times 4$，如果不加入限制，则很多数会被大量重复标记，导致效率低下，时间复杂度上升。

如何限制呢？对于 $i$ 而言，如果 $i\%prime[j]==0$，则说明一定存在一个数 $x$，使得 $prime[j]\times x==i$（公式 $1$）；

如果此时继续往后走，将会标记$prime[j+1]\times i$ 为非质数，用公式 $1$ 替换，可以得到下一个要标记 $prime[j+1]\times prime[j]\times x$；

由于 $prime[j]<prime[j+1]$ ( $ prime[j]$ 是第 $j$ 个质数，$prime[j+1]$ 是第 $j+1$ 个质数），

因此下一个要标记的数 $prime[j+1]\times prime[j]\times x$ 可以在 $i==prime[j+1]\times x$ 的时候用更小的质数 $prime[j]$ 进行标记，

因此就不需要大的质数 $prime[j+1]$ 乘以小的 $i==prime[j]\times x$ 来标记了；

举例说明：比如当 $i$ 循环到 $4$ 的时候，此时保存的质数有 $2$ 和 $3$ ，那么 $2\times 4=8$，所以标记 $8$，由于 $4\%2==0$ ,所以就可以停止了，不用再往后标记了，再往后就是 $3\times 4$ 标记 $12$ 了，由于 $i$ 循环到 $6$ 的时候，可以用$2\times 6$ 标记 $12$，因为质数 $2$ 小于 质数 $3$，所以对于同一个数，我们用最小质因数标记，可以防止重复标记，增加效率。

【本题题解完整代码】

#include "iostream"
using namespace std;
int n , q , k , x;
const int N = 1e8+7;
bool isNotPrime[N];   // 如果isNotPrime[i]为true，则i不是素数，否则i是素数
int prime[N];    // prime[i]表示第i个素数是多少
int cnt = 1;  // cnt表示当前将要存储第cnt个质数，cnt从1开始
int main()
{cin >> n >> q;for (int i = 2;i <= n;i++) {       // i从2遍历到nif(!isNotPrime[i]) prime[cnt++] = i;   // 如果i没有被标记过，说明i一定是质数，保存到prime数组中,cnt++,要保存下一个质数了for(int j=1; j<cnt && prime[j] * i <= n; j++) {  // 找出目前已经保存的所有质数，与i做乘积，乘积后标记为非质数isNotPrime[i*prime[j]] = true;   // 标记非质数if(i%prime[j] == 0) break;    // 遇到这种情况就break，因为后面的非质数，可以用更小的质数标记，只需要i大一点就行了，}}while(q--) {cin >> x;  // 询问cout << prime[x] << endl;  // 直接输出即可}return 0;
}