数据库关系模型的总结

 关系模型的核心概念

(1) 关系（Relation）

定义：关系是一个二维表（Table），由行（记录）和列（属性）组成。

数学表示：关系是元组（Tuple）的集合，每个元组代表一行数据。

示例：

StudentID	Name	Age	Major
101	Alice	20	Computer
102	Bob	22	Mathematics

(2) 属性（Attribute）

域 定义：

• 域（Domain）是一组具有相同数据类型的值的集合，它定义了某个属性（列）可以取的所有可能值。

• 在关系模型中，每个属性都必须属于某个域，域限制了该属性的取值范围。

特点

1. 原子性：域中的值是不可再分的最小单位（如整数、字符串等）。

2. 唯一性：同一个域不能包含重复的值。

3. 约束性：域可以定义数据的类型和约束条件（如 Age 必须是正整数）。

(3) 元组（Tuple）

即表的行，代表一条具体的数据记录。

示例：(101, "Alice", 20, "Computer") 是一个元组。

(4) 主键（Primary Key）

唯一标识一个元组的属性（或属性组合），不能重复，不能为NULL。

示例：StudentID 是主键。

(5) 外键（Foreign Key）

一个表中的属性，引用另一个表的主键，用于维护表之间的关系。

示例：Enrollment 表中的 StudentID 是外键，引用 Student 表的主键。

(6)笛卡尔积：

笛卡尔积（Cartesian Product）是两个集合的所有可能有序对的组合。

在关系数据库中，笛卡尔积用于描述多个关系的组合方式，它是关系代数中连接（Join）操作的基础。

数学表示：

给定两个集合 A和 B，它们的笛卡尔积 A×B，A×B 定义为：

A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}

即，A×B，A×B 包含所有可能的 (a,b)(a,b) 组合。

在关系数据库中的应用：

关系数据库中的表可以看作元组的集合，因此两个表的笛卡尔积就是所有可能的行组合。

笛卡尔积通常用于多表查询，但如果不加约束（如 WHERE 或 JOIN），会产生大量无意义的数据。

 关系模型的数学基础

(1) 关系代数（Relational Algebra）

关系代数是一组对关系进行操作的运算符，包括：

选择（σ）：按条件筛选行，如 σ(Age > 20)(Student)。

投影（π）：选择特定列，如 π(Name, Major)(Student)。

并集（∪）、交集（∩）、差集（−）：集合运算。

连接（⋈）：合并两个关系的相关行，如 Student ⋈ Enrollment。

笛卡尔积（×）：所有可能的组合。

(2):详解:

  (1) 选择（Selection, σ）

作用：按条件筛选行。

符号：σ_条件(R)

• 示例：

  • 查询年龄大于20的学生：

    σ<sub> Age>20 </sub>(Students)
    

    StudentID	Name	Age
    102	Bob	22

(2) 投影（Projection, π）

作用：选择指定的列。

符号：π_属性列表(R)

• 示例：

  • 查询所有学生的姓名和专业：

    π<sub> Name, Major </sub>(Students)

    结果：

    Name	Major
    Alice	Computer
    Bob	Mathematics

(3) 并集（Union, ∪）

作用：合并两个关系（表）的所有元组，去重。

要求：两个关系必须具有相同的属性（列结构）。

• 示例：

  • 查询所有学生和教师的姓名：

    π<sub>Name</sub>(Students) ∪ π<sub>Name</sub>(Teachers)

(4) 差集（Set Difference, −）

• 作用：返回属于第一个关系但不属于第二个关系的元组。

• 示例：

  • 查询没有选修任何课程的学生：

    π<sub>StudentID</sub>(Students) − π<sub>StudentID</sub>(Enrollments)

(5) 笛卡尔积（Cartesian Product, ×）

• 作用：返回两个关系的所有可能组合。

• 示例：

  • 计算 Students 和 Courses 的所有组合：

    Students × Courses

    结果：

    StudentID	Name	CourseID	CourseName
    101	Alice	1	Math
    101	Alice	2	Physics
    102	Bob	1	Math
    102	Bob	2	Physics

3. 扩展关系运算符

(1) 连接（Join, ⋈）

• 作用：基于条件合并两个关系的元组。

• 类型：

  • 自然连接（Natural Join, ⋈）：自动匹配相同属性名的列。

  • θ-连接（Theta Join, ⋈_θ）：自定义连接条件（如 =, >, <）。

• 示例：

  • 查询学生及其选修的课程：

    Students ⋈ Enrollments
    

  • 等价于：

  • σ<sub>Students.StudentID = Enrollments.StudentID</sub>(Students × Enrollments)

(2) 重命名（Rename, ρ）

• 作用：修改关系或属性的名称。

• 示例：

  • 将 Students 重命名为 S：

    ρ<sub>S</sub>(Students)

(3) 除法（Division, ÷）

• 作用：查询满足“所有”条件的元组（如“选修了所有课程的学生”）。

• 示例：

  • 查询选修了所有课程的学生：

    π<sub>StudentID, CourseID</sub>(Enrollments) ÷ π<sub>CourseID</sub>(Courses)

3. 关系的约束（完整性规则）

(1) 实体完整性（Entity Integrity）

主键不能为NULL，确保每条记录唯一可识别。

(2) 参照完整性（Referential Integrity）

1. 外键的值必须是另一个表的主键值，或者为 NULL。

2. 如果外键引用被删除（如删除被引用的主键记录），数据库可以采取以下策略：

   • RESTRICT / NO ACTION（默认）：阻止删除（报错）。

   • CASCADE：级联删除（删除引用该主键的所有外键记录）。

   • SET NULL：将外键设为 NULL。

   • SET DEFAULT：将外键设为默认值

(3) 用户定义的完整性（User-defined Integrity）

定义

由用户（开发者）定义的业务规则，通常通过 CHECK、UNIQUE、NOT NULL 等约束实现。

确保数据符合特定的业务逻辑（如年龄必须大于 0，邮箱必须包含 @ 等）

sako——