DSA数据结构与算法 6

查找技术（Searching Techniques）

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查找简介

在计算机科学中，“查找”指的是在某个集合或序列中寻找特定元素的过程。这个过程可以是成功的，也可以是失败的：

• 若目标元素存在于集合中，我们称之为“查找成功”，并返回它在集合中的位置；
• 若元素不存在，则称为“查找失败”。

查找是数据处理中的基本操作之一，几乎出现在所有软件系统的核心逻辑中。比如搜索联系人、检索图书、匹配登录密码等，背后都离不开查找算法。

而不同的查找算法之间最大的差异，通常体现在“查找的效率”上。这个效率，很大程度上依赖于数据本身的“排列方式”——是否已排序。因此，我们在选择查找方法时，必须考虑数据的特征。

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本章将介绍两种最基础的查找技术：

1. 线性查找（Linear Search）

又名“顺序查找”，是最直观的查找方式。算法从第一个元素开始，依次与目标值进行比较，直到找到为止，或遍历完所有元素。

这种方法的优势是实现简单，不要求数据有序；缺点是效率较低，特别是在数据量大的时候。

一个类比：想象你正在翻找一个装满扑克牌的盒子，想找一张红桃 7。如果这些牌是杂乱无章地放着的，你只能一张张翻阅，直到找到为止——这就是线性查找的过程。

def linear_search(arr, target):steps = []  # 每一步的状态for i in range(len(arr)):status = {'array': arr.copy(),'index': i,'found': arr[i] == target}steps.append(status)if arr[i] == target:break  # 找到目标值就提前退出return steps

二分查找（Binary Search）

二分查找是一种高效的查找方法，但它有一个前提条件：待查找的列表必须是有序的。也就是说，在使用二分查找之前，我们要确保数据已经按照升序或降序排列好，否则该算法将无法正常工作。

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✦ 二分查找的核心思想：分而治之（Divide and Conquer）

具体过程如下：

1. 将数组从中间分成两部分；
2. 将目标值与中间元素进行比较：
   • 如果相等，则查找成功，返回该位置；
   • 如果目标值小于中间元素，说明目标在左半部分；
   • 如果目标值大于中间元素，说明目标在右半部分；
3. 仅在可能存在目标值的一半继续查找；
4. 重复上述步骤，直到找到目标或范围为空为止。

这种方法的效率极高：每次查找操作都将问题规模减半，时间复杂度为 $O({\log }_{2}n)$，远优于线性查找的 $O(n)$，尤其在数据量较大时优势更加明显。

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def binary_search(arr, target):steps = []low = 0high = len(arr) - 1while low <= high:mid = (low + high) // 2step = {'array': arr.copy(),'low': low,'high': high,'mid': mid,'found': arr[mid] == target}steps.append(step)if arr[mid] == target:breakelif arr[mid] < target:low = mid + 1else:high = mid - 1return steps

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插值查找（Interpolation Search）

• 适用条件： 数据必须是有序且分布均匀
• 核心思想： 预测目标值可能出现的位置，而不是死板地取中间值

$$mid=low+\frac{(target-arr[low])\cdot (high-low)}{arr[high]-arr[low]}$$

• 时间复杂度：
  • 最好：$O(\log \log n)$
  • 最坏：$O(n)$（分布极度不均）

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跳跃查找（Jump Search）

• 适用条件： 有序数组
• 核心思想： 以固定步长（如 $\sqrt{n}$）跳跃前进，找到目标所在区间后回退线性查找
• 时间复杂度： $O(\sqrt{n})$

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哈希查找（Hash Search）

• 适用条件： 查找速度要求极高，数据量大，结构可以牺牲顺序
• 核心思想： 使用哈希函数将关键字映射到数组中的某个索引位置
• 优势： 插入和查找时间复杂度通常为 $O(1)$
• 挑战： 哈希冲突（如链地址法、开放定址法）

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二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）

• 结构性质： 左子树 < 根 < 右子树
• 时间复杂度：
  • 平均：$O(\log n)$
  • 最坏：$O(n)$（退化成链表）

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平衡二叉搜索树（AVL 树、红黑树等）

• 特性： 自动保持“树的高度”平衡，防止性能退化
• 优势： 所有操作最坏时间复杂度为 $O(\log n)$
• 适用： 高频插入+查找操作，如操作系统调度、缓存结构

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B 树 / B+ 树

• 用途： 用于数据库、文件系统等对磁盘IO优化要求极高的场景
• 特点：
  • 多路搜索，不是二叉结构
  • 每个节点包含多个关键字
• 优势： 能减少磁盘访问次数，支持批量范围查找

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深度优先搜索（DFS）与广度优先搜索（BFS）

• 应用场景： 图结构查找、路径规划、社交网络分析等
• 特点：
  • DFS：适合探索所有路径（回溯）
  • BFS：适合找最短路径或分层结构

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指数查找（Exponential Search）

• 应用场景： 无法直接知道数据规模，如“无限数组”
• 过程：
  1. 快速扩大查找范围（1, 2, 4, 8…）
  2. 找到目标值所在的范围后使用二分查找
• 时间复杂度： $O(\log i)$，其中 $i$ 为目标位置

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