零点、驻点、拐点、极值点、最值点的定义、几何意义、求解方法

一、零点

1. 定义

满足 f(x)=0 的 x 值，也就是方程的解、根。

2. 几何意义

函数图像与 x 轴的交点或切点。

3. 求法

解方程 f(x)=0。

二、驻点

1. 定义

一阶导数 f′(x)=0 或 f′(x) 不存在的点。

2. 几何意义

函数图像在该点的 切线水平（斜率为零）或 导数不存在（如尖点）。

3. 求法

①求导 f′(x)。
②解方程 f′(x)=0 和 找出 f′(x) 不存在 的点。

三、拐点

1. 定义

二阶导数 f′′(x) 变号的点，即曲线凹凸性改变的点。

2. 几何意义

函数图像由 凸变凹 或 由 凹变凸。

3. 求法

①求二阶导数 f′′(x)。
②解 f′′(x)=0 或找出 f′′(x) 不存在的点。
③验证这些点左右两侧 f′′(x) 是否变号。

四、极值点

1. 定义

极大值点：在某个邻域内，f(x) 在该点的值最大。
极小值点：在某个邻域内，f(x) 在该点的值最小。

2. 几何意义

函数图像的局部最高点或最低点。

3. 求法

五、最值点

1. 定义

最大值点：在定义域内，f(x) 在该点的值最大。
最小值点：在定义域内，f(x) 在该点的值最小。

2. 几何意义

函数图像的全局最高点或最低点。

3. 求法

找到所有极值点和区间端点。
比较这些点的函数值，最大的为最大值点，最小的为最小值点。

六、关系总结

驻点是极值点的候选点，但并非所有驻点都是极值点（如 f(x)=x^3在 x=0处）。
拐点是凹凸性改变的点，可能与极值点重合，也可能不重合。
最值点可能是极值点或区间端点。