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计算机图形学（一）：基础

news 来源：原创 2025/4/28 5:30:43

# 基础概念

左/右手坐标系

左手坐标系和右手坐标系之间的差异就是某一个坐标轴的方向取反，可以是X轴，可以是Y轴，也可以是Z轴。

· OpenGL中的坐标系大都是右手坐标系；

· OSG使用右手坐标系；

· Unreal Engine采用左手坐标系；

· DirectX采用左手坐标系；

🟠右手坐标系：从旋转轴的上方看下，逆时针方向为旋转正方向；

🟡左手坐标系：从旋转轴的上方看下，顺时针方向为旋转正方向；

其他：在查看glm或者DirectXMath这类库时，通常可以在其中发现同一个函数有LH和RH两个版本 [链接]

扩展：左右手系转换

链接：左右手坐标系转换-CSDN博客

行主序/列主序存储

· OpenGL中的矩阵元素是采用列主序存储；

· OSG是采用行主序存储；

· Unreal Engine采用行主序存储；

· Direct3D 采用行主序存储；

示例：当要存储如图的矩阵信息时：

在OpenGL中的写法：

GLfloat m[] = {1.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f,      // 对应 X列0.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f,      // 对应 Y列0.0f, 0.0f, 1.0f, 0.0f,      // 对应 Z列tx,   ty,   tz,   1.0f};     // 平移列

在OSG中的写法：

osg::Matrixd matrix(1.0f, 0.0f, 0.0f, tx,0.0f, 1.0f, 0.0f, ty,0.0f, 0.0f, 1.0f, tz,0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f
);

向量/矩阵+左乘/右乘

或者也可以叫做“前乘“（pre-multiply）与”后乘“（post-multiply）。

行向量左乘还是右乘是矩阵乘法规则的限制，行向量只能左乘，而列向量只能右乘矩阵；

· 有人说OpenGL都是右乘、OSG都是左乘从结论上来说是对的，但是这和OpenGL以及OSG本身并没有半点关系，这只是矩阵乘法的定义 [链接]。

所谓矩阵左乘，其实就是矩阵放到乘号左边乘的意思；所谓矩阵右乘，其实就是矩阵放到乘号右边乘的意思（向量同理）。

点积与叉积

点积代数意义： $A\cdot B = (u, v, w)\cdot (x, y, z) = ux+vy+wz$

点积几何意义： $A\cdot B = |A||B|cos\theta$

叉积代数意义： $A\times B= (vz-wy, wx-uz, uy-vx)$ （注：结果是一个向量

叉积几何意义： $|A\times B|=|A||B||sin\theta |$

线性变换、正交变换、仿射变换

🟢 线性变换：线性变换是通过矩阵乘法来实现的，如旋转、缩放。

🔵 正交变换：线性变换的一种，它从实内积空间V映射到V自身，且保证变换前后内积不变

内积（a,b），对正交变换T，有（a，b）＝（T（a），T(b))

🟣 仿射变换：仿射变换不能光通过矩阵乘法来实现，还得有加法（但可以在高维度通过线性变换实现低维度的仿射变换），如平移。“仿射变换”就是：“线性变换”+“平移”（旋转、缩放、平移）；

链接：如何通俗地讲解「仿射变换」？ - 知乎

链接：图形学中的基本变换(Basic Transforms)

矩阵变换

以OpenGL为例的矩阵形式

（一）平移

（二）缩放

（三）旋转

注意：下述旋转矩阵的中心点是（0，0），当旋转中心点不同时，旋转矩阵也会变化。

反向旋转的矩阵恰等于其转置矩阵（可通过cos(−θ) = cos(θ)和sin(−θ) = −sin(θ)验证）

绕Z轴旋转

绕X轴旋转

绕Y轴旋转

扩展：绕任意点的旋转矩阵

当我们需要进行绕任意点旋转时，可以把这种情况转换到绕原点的旋转，思路如下 [链接]：

1. 首先将旋转点移动到原点处；
2. 执行绕原点的旋转；
3. 再将旋转点移回到原来的位置；

即：

基的转换

已知一个向量v在一个基Q之中的坐标v'，以及另外一个基R，我们可以通过公式来计算在R基中的坐标v''：

若基R是正交矩阵，而正交矩阵的一个重要性质就是逆等于转置

所以在已知两个基的情况下，可以得到基A的向量v在基B的坐标表示（反过来也行）。

若Q是和参考系相同的坐标系（3D编程中大多数情况下如此），比如世界坐标系，则Q是一个单位矩阵I，所以当已知Q下的坐标v'，计算其在R基下的坐标v''：

例如：我们可以以相机位置作为坐标原点建立一个参考系，从世界空间变换到相机空间，即把物体从世界坐标系变换到相机为原点的相机坐标系（反过来也行）。

这里涉及两个坐标系：世界坐标系和相机坐标系，它们之间通过平移旋转变换可以实现重合。

UVN系统

UVN系统本质上就是在世界坐标参考系下，构成相机（世界坐标参考系下）的三个基向量，分别代表相机的右向（x）、上向（y）和后方（z）（左手系则为前方），也就是确定了在x轴、y轴和z轴三个标准正交基，构成了一个相机坐标系（相机处于世界坐标原点），这本质上就是一个旋转矩阵的构成。

根据相机位置eye和观察目标center，可以求出向量N（右手系）：N = eye - center；

📌 注：在左手系中 N = center - eye；

为了建立UVN系，除了①相机位置eye；②观察目标center；还需要知道③相机的正上方向量up；通过N和up叉乘，得到向量V，V = N × Up；在保证了三个向量都得到标准化（单位化）之后，就已经获得了UVN相机模型的三个基向量。

链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/561394626

示例：OSG中的代码

Vec3d lv( center - eye ); // 计算前向向量Vec3d f( lv ); // 前向向量
f.normalize();
Vec3d s( f^up ); // 计算右向向量，up一般取osg::Vec3d(0., 1., 0.)，注意叉积不符合交换律
s.normalize();
Vec3d u( s^f ); // 计算上向向量
u.normalize();osg::Matrixd rotation_matrix(s[0], u[0], -f[0], 0.0f,s[1], u[1], -f[1], 0.0f,s[2], u[2], -f[2], 0.0f,0.0f, 0.0f,  0.0f, 1.0f );

示例：模板库 glm 数学库的 LookAt 相关的代码 lookAtRH （右）/ lookAtLH（左）