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【密码学——基础理论与应用】李子臣编著第八章 SM2公钥密码算法课后习题

news 来源：原创 2025/4/28 12:27:00

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这里都是自己搓或者手写的。
里面不少题目感觉有问题或者我的理解有偏颇，请大佬批评指正！
不带思考抄作业的请自动退出，我的并非全对，仅仅提供思维！

题目

逐题解析

知识前提：模运算的分数怎么转整数？

我知道这一点是卡死很多人的点，但是实际上老师根本就不会讲这个细节，我也不指望他们能理解为什么在这里能卡住学生。但是这里确实，懂得就懂，不懂的其实有人指点一下也能秒懂，但是不懂的也没找到怎么懂的，就一直卡死在这里，形成恶性闭环。（以上均为对大学教学问题本身的虾鸡扒扯的胡话，我实在是忍不了我那个密码学老头）

例1：模为p，形如 $\frac{a}{b}$ 的分数，且满足a<p，b<p，怎么转整数？

我们知道 $\frac{a}{b}=a*b^{-1}$ ，而在模p的运算下，b^(-1)并不是“b分之一”，而是一个在[0,p)范围内的整数。这个整数设为x，那么满足 $b*x \equiv 1 \ (mod \ p)$ ，我们解出这个x（不管是暴力还是扩展欧几里得算法，解出来就对了）。

所以， $\frac{a}{b} \equiv a*x (mod p)$ 。

例2：模为p，形如 $\frac{a}{b}$ 的分数，但是a，b至少有一个大于p，怎么转整数？

这一点其实很好回答。那我问你，比如p=11，a=13，b=14。13%p=2，14%p=3，那么我们转成求2/3就可以了。现在你肯定要问：为什么？

我们先把分母遮掉，就假设分母的逆是x。那你总知道13*x=2*x+11*x吧！结果对11取余那不就变成2*x啦？分母也是一样的，14的逆元就（不妨设为y）是2的逆元，因为 $14*y \equiv 2*y \equiv 1(mod\ p)$ 。

例3：如果a或者b有一个小于0，那么怎么办？

直接默认a小于0，那么a转正就行了。比如-2/3 mod 11=(-2+11)/3 mod 11。原理和例2完全一致。

8.1

8.2

输出结果：(0, 0), (0, 1), (0, 18), (2, 7), (2, 12), (5, 6), (5, 13), (7, 3), (7, 16), (9, 6), (9, 13), (10, 2), (10, 17), (13, 8), (13, 11), (14, 2), (14, 17), (15, 3), (15, 16), (16, 3), (16, 16)。

def findsolution(p,a,b):s=[]cnt=0for i in range(p):z=i*i*i+a*i+bif 1==pow(z,(p-1)//2,p):y1=pow(z,(p+1)//4,p)s.append((i,y1))cnt+=1y2=p-y1if y1!=y2:s.append((i,y2))cnt+=1s.append((0, 0))cnt+=1s.sort()return s,cnt# print(findsolution(11,1,6))训练
print(findsolution(19,1,1))