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[预备知识]4. 概率基础

news 来源：原创 2025/4/27 18:29:46

人工智能

概率基础

本章节介绍深度学习中的概率基础知识，包括基本概念、概率分布和统计推断。

1. 概率基础

1.1 基本概念

随机变量：可以取不同值的变量，其值由随机试验的结果决定
概率分布：描述随机变量取值的可能性分布
条件概率：在给定某事件发生的条件下，另一事件发生的概率

概率基础

本章节介绍深度学习中的概率基础知识，包括基本概念、概率分布和统计推断。

1. 概率基础

1.1 基本概念

概率公理

概率论的基础由以下三条公理构成，这些公理为所有概率计算提供了数学基础：

非负性：
$\geq 0$
任何事件的概率都是非负的。例如，抛硬币出现正面的概率不可能是负数。
规范性：
$P(\Omega) = 1$
所有可能事件的概率总和为1。例如，抛硬币（正面或反面）的概率总和必然为1。
可列可加性：
$P\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i) \quad \text{（当事件 } A_i \text{ 互斥时）}$
互斥事件（即不同时发生的事件）的并集概率等于各事件概率之和。例如，抛一次骰子出现1点或2点的概率是 $1/6 + 1/6 = 1/3$ 。

# 示例：计算骰子概率
dice_outcomes = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
prob_even = 3 / 6  # 偶数事件（2,4,6）的概率
print(f"骰子出现偶数的概率: {prob_even}")  # 输出 0.5（符合规范性）

1.2 联合概率与条件概率

联合概率

联合概率 $P (X = x, Y = y)$ 表示两个事件同时发生的概率。例如，同时抛硬币和骰子，硬币为正面且骰子为3的概率。

条件概率

条件概率 $P (Y = y ∣ X = x)$ 表示在已知事件 $X = x$ 发生的条件下，事件 $Y = y$ 发生的概率。其计算公式为：
$\frac{P(X=x, Y=y)}{P(X=x)}$

示例：在天气预测中，已知今天下雨的条件下，明天下雨的概率。

# 联合概率表（X: 天气，Y: 是否带伞）
#          带伞(Y=0)  不带伞(Y=1)
# 晴天(X=0)   0.1        0.5
# 雨天(X=1)   0.3        0.1
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
import torch
joint_probs = torch.tensor([[0.1, 0.5], [0.3, 0.1]])# 计算边缘概率 P(X=雨天)
p_rain = joint_probs[1, :].sum()  # 0.3 + 0.1 = 0.4# 计算条件概率 P(带伞 | 雨天)
p_umbrella_given_rain = joint_probs[1, 0] / p_rain  # 0.3 / 0.4 = 0.75
print(f"雨天带伞的条件概率: {p_umbrella_given_rain:.2f}")
plt.figure(figsize=(8,6))
sns.heatmap(joint_probs.numpy(), annot=True, fmt=".2f",cmap="YlGnBu",xticklabels=['Y=0', 'Y=1'],yticklabels=['X=0', 'X=1'])
plt.title("联合概率分布热力图 P(X,Y)", fontsize=14)
plt.xlabel("Y变量", fontsize=12)
plt.ylabel("X变量", fontsize=12)
plt.show()

2. 概率分布

2.1 离散分布

2.1.1 伯努利分布

定义：描述单次二元试验（成功/失败）的概率分布。
概率质量函数（PMF）：
$\begin{cases} p & \text{if } k=1 \quad (\text{成功}) \\ 1-p & \text{if } k=0 \quad (\text{失败}) \end{cases}$

参数：

$p$ ：成功的概率（如抛硬币正面的概率）

p = 0.6  # 成功概率为60%
bern_dist = torch.distributions.Bernoulli(probs=p)
samples = bern_dist.sample((1000,))  # 生成1000次试验样本print(f"理论成功概率: {p}")
print(f"实际样本成功比例: {samples.float().mean():.2f}")  # 约0.6

2.1.2 二项分布

定义：描述 $n$ 次独立伯努利试验中成功次数的分布。
PMF：
$P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$
其中 $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ 是组合数。

参数：

$n$ ：试验次数
$p$ ：单次成功的概率

应用场景：

抛10次硬币出现正面的次数
100件产品中的次品数量

n, p = 10, 0.3
binom_dist = torch.distributions.Binomial(n, probs=p)
k = 4  # 成功4次的概率
prob_k = binom_dist.log_prob(k).exp()  # 计算P(X=4)print(f"在{n}次试验中成功{k}次的概率: {prob_k:.3f}")  # 约0.200

2.2 连续分布

2.2.1 正态分布（高斯分布）

定义：自然界中大量现象服从的分布（如身高、测量误差）。
概率密度函数（PDF）：
$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

参数：

$\mu$ ：均值（分布中心）
$\sigma$ ：标准差（分布宽度）

特性：

68% 的数据落在 $[\mu-\sigma, \mu+\sigma]$
95% 的数据落在 $[\mu-2\sigma, \mu+2\sigma]$

mu, sigma = 0.0, 1.0
normal_dist = torch.distributions.Normal(mu, sigma)# 计算区间概率
x1, x2 = -1, 1
prob = normal_dist.cdf(torch.tensor(x2)) - normal_dist.cdf(torch.tensor(x1))
print(f"数据在[{x1}, {x2}]的概率: {prob:.3f}")  # 输出约0.682

2.2.2 均匀分布

定义：在区间 $[a, b]$ 内所有值出现的概率相等。
PDF：
$\begin{cases} \frac{1}{b-a} & a \leq x \leq b \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$

应用场景：

随机数生成
无先验知识时的默认分布

a, b = 2.0, 5.0
uniform_dist = torch.distributions.Uniform(a, b)# 计算概率密度在区间内的值
x = 3.5
pdf_value = torch.exp(uniform_dist.log_prob(x))
print(f"x=3.5处的概率密度: {pdf_value:.3f}")  # 1/(5-2) ≈ 0.333s

3. 统计推断

3.1 最大似然估计（MLE）

核心思想：选择使观测数据出现概率最大的参数。
数学形式：
$\hat{\theta}_{\text{MLE}} = \arg\max_\theta \prod_{i=1}^n P(x_i | \theta)$

示例：估计正态分布的均值和方差
假设数据 ${x_1, ..., x_n\}$ 服从 $N(\mu, \sigma^2)$ ，MLE估计为：
$\hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, \quad \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \hat{\mu})^2$

# 生成正态分布样本
true_mu, true_sigma = 5.0, 2.0
data = torch.normal(true_mu, true_sigma, size=(1000,))# MLE估计参数
mu_hat = data.mean()
sigma_hat = torch.sqrt(torch.mean((data - mu_hat)**2))  # 注意这是有偏估计print(f"真实参数: μ={true_mu}, σ={true_sigma}")
print(f"MLE估计: μ̂={mu_hat:.3f}, σ̂={sigma_hat:.3f}")  # 结果接近真实值

3.2 假设检验（t检验）

目的：判断两组数据的均值是否有显著差异。
t统计量公式：
$\frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$
其中 $\bar{x}_i$ 为样本均值， $s_i^2$ 为样本方差， $n_i$ 为样本量。

结果解读：

p值：若 p < 0.05，拒绝原假设（认为均值不同）
t值：绝对值越大，差异越显著

# 生成两组数据（假设是模型A和模型B的准确率）
model_A = torch.normal(0.85, 0.1, (100,))  # 均值85%，标准差10%
model_B = torch.normal(0.88, 0.1, (100,))  # 均值88%# 独立双样本t检验
from scipy.stats import ttest_ind
t_stat, p_value = ttest_ind(model_A.numpy(), model_B.numpy())print(f"t统计量: {t_stat:.3f}")
print(f"p值: {p_value:.3f}")
if p_value < 0.05:print("结论: 模型B的准确率显著高于模型A")
else:print("结论: 无显著差异")

4. 深度学习中的概率应用

4.1 交叉熵损失

数学定义：衡量预测分布 $q$ 与真实分布 $p$ 的差异：
$-\sum_{i=1}^C p_i \log q_i$

在分类任务中的应用：

真实分布 $p$ 是 one-hot 编码（如标签 [0, 1, 0]）
预测分布 $q$ 是 softmax 输出（如 [0.2, 0.7, 0.1]）

# 三分类任务示例
logits = torch.tensor([[1.2, 3.0, 0.5], [0.5, 2.0, 1.5]])  # 模型原始输出
targets = torch.tensor([1, 2])  # 真实类别索引# 计算交叉熵损失
loss = F.cross_entropy(logits, targets)
print(f"交叉熵损失: {loss:.3f}")  # 输出约0.551# 手动验证
probs = F.softmax(logits, dim=1)  # 转换为概率
true_probs = torch.zeros_like(probs).scatter(1, targets.unsqueeze(1), 1.0)
manual_loss = - (true_probs * torch.log(probs)).sum(dim=1).mean()
print(f"手动计算损失: {manual_loss:.3f}")  # 应与上述结果一致

4.2 变分自编码器（VAE）

核心思想：通过概率模型学习数据的潜在表示。
变分下界（ELBO）：
$\mathcal{L} = \mathbb{E}_{q(z|x)}[\log p(x|z)] - \text{KL}(q(z|x) \| p(z))$

第一项：重构损失，要求解码后的数据与输入相似
第二项：KL散度，约束潜在变量分布接近先验分布（通常为标准正态）

class VAE(nn.Module):def __init__(self, input_dim=784, latent_dim=20):super().__init__()# 编码器：输入 -> 潜在分布的参数 (μ, logσ²)self.encoder = nn.Linear(input_dim, latent_dim*2)# 解码器：潜在变量 -> 重构数据self.decoder = nn.Sequential(nn.Linear(latent_dim, 512),nn.ReLU(),nn.Linear(512, input_dim),nn.Sigmoid())def reparameterize(self, mu, logvar):std = torch.exp(0.5*logvar)  # 标准差eps = torch.randn_like(std)   # 随机噪声return mu + eps * std        # 重参数化技巧def forward(self, x):# 编码h = self.encoder(x)mu, logvar = h.chunk(2, dim=1)# 采样潜在变量z = self.reparameterize(mu, logvar)# 解码重构x_recon = self.decoder(z)return x_recon, mu, logvar# 损失函数计算
def vae_loss(recon_x, x, mu, logvar):BCE = F.binary_cross_entropy(recon_x, x, reduction='sum')  # 重构损失KLD = -0.5 * torch.sum(1 + logvar - mu.pow(2) - logvar.exp())  # KL散度return BCE + KLD

import numpy as np
import torch
import matplotlib.pyplot as plt# 模拟抛硬币实验
num_flips = 1000
flips = np.random.choice(['正面', '反面'], size=num_flips)# 计算概率
prob_head = np.mean(flips == '正面')
print(f"正面概率: {prob_head:.3f}")